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(Problem Book- D.C. Pandey)
Um corpo é lançado da superfície da Terra formando um ângulo α=30º com a horizontal com uma velocidade v0 = (3.G.M/2.R)^1/2. Considere a Terra uma esfera homogênea de raio R e massa M. Desprezando a resistência do ar e a rotação da Terra, o professor Herbert Aquino pede que você determine a altura máxima atingida pelo corpo em relação a superfície da Terra.
Dúvida: Estou aplicando o teorema da energia cinética na transição de coordenadas entre o lançamento (cuja velocidade é dada) e a altura máxima em que a velocidade, ao menos pela minha visão, seria v0.cosα. O trabalho da força gravitacional seria W = [M.m.G/(R+H) - M.m.G/R].
Contudo, o gabarito não está fechando. Estou encontrando aproximadamente 0,23.R.
Gostaria de entender qual o erro no meu raciocínio.

upupup preciso muito

HHHoppe,
Demorou um pouco, mas aqui está a solução:
Primeiro, note que a sua afirmação está incorreta, pois o campo gravitacional não é uniforme.
Vamos à solução:
Usarei dois fatos - a conservação do momento angular e a conservação da energia mecânica.
Seja H a altura máxima em relação ao centro da terra e v a velocidade nesse instante. Podemos fazer:
[tex3]mv_0R\sen60°=mvH\sen90°\implies v^2=\frac{9GMR}{8H^2}\\
-\frac{GMm}{R}+\frac{mv_0^2}{2}=-\frac{GMm}{H}+\frac{mv^2}{2}\\
\text{Após algumas simplificações algébricas...}\\
4H^2-16HR+8R^2=0\implies H=\frac{16R+4R\sqrt7}{8}\approx 3,33R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]mv_0R\sen60°=mvH\sen90°\implies v^2=\frac{9GMR}{8H^2}\\
-\frac{GMm}{R}+\frac{mv_0^2}{2}=-\frac{GMm}{H}+\frac{mv^2}{2}\\
\text{Após algumas simplificações algébricas...}\\
4H^2-16HR+8R^2=0\implies H=\frac{16R+4R\sqrt7}{8}\approx 3,33R[/tex3]

Como a questão pede a altura em relação à superfície da terra, basta fazer H-R, logo, nossa resposta é:
[tex3]\boxed{\boxed{2,33R}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{2,33R}}[/tex3]