IME/ITARumo ao ITA - Gravitação Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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HHHoppe
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Rumo ao ITA - Gravitação

Mensagem não lida por HHHoppe »

(Problem Book- D.C. Pandey)
Um corpo é lançado da superfície da Terra formando um ângulo α=30º com a horizontal com uma velocidade v0 = (3.G.M/2.R)^1/2. Considere a Terra uma esfera homogênea de raio R e massa M. Desprezando a resistência do ar e a rotação da Terra, o professor Herbert Aquino pede que você determine a altura máxima atingida pelo corpo em relação a superfície da Terra.
Resposta

R: Aproximadamente 2,33.R
Dúvida: Estou aplicando o teorema da energia cinética na transição de coordenadas entre o lançamento (cuja velocidade é dada) e a altura máxima em que a velocidade, ao menos pela minha visão, seria v0.cosα. O trabalho da força gravitacional seria W = [M.m.G/(R+H) - M.m.G/R].
Contudo, o gabarito não está fechando. Estou encontrando aproximadamente 0,23.R.
Gostaria de entender qual o erro no meu raciocínio.

Última edição: caju (Sáb 03 Fev, 2018 11:22). Total de 1 vez.
Razão: Colocar spoiler na resposta.



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HHHoppe
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Re: Rumo ao ITA - Gravitação

Mensagem não lida por HHHoppe »

upupup preciso muito




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Tassandro
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Re: Rumo ao ITA - Gravitação

Mensagem não lida por Tassandro »

HHHoppe,
Demorou um pouco, mas aqui está a solução:
Primeiro, note que a sua afirmação está incorreta, pois o campo gravitacional não é uniforme.
Vamos à solução:
Usarei dois fatos - a conservação do momento angular e a conservação da energia mecânica.
Seja H a altura máxima em relação ao centro da terra e v a velocidade nesse instante. Podemos fazer:
[tex3]mv_0R\sen60°=mvH\sen90°\implies v^2=\frac{9GMR}{8H^2}\\
-\frac{GMm}{R}+\frac{mv_0^2}{2}=-\frac{GMm}{H}+\frac{mv^2}{2}\\
\text{Após algumas simplificações algébricas...}\\
4H^2-16HR+8R^2=0\implies H=\frac{16R+4R\sqrt7}{8}\approx 3,33R[/tex3]
Como a questão pede a altura em relação à superfície da terra, basta fazer H-R, logo, nossa resposta é:
[tex3]\boxed{\boxed{2,33R}}[/tex3]



Dias de luta, dias de glória.

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