Bom, o segredo é usar o princípio da superposição. Veja que o campo elétrico será a soma dos campos da esfera maior (sem o buraco) mais o campo "negativo" do buraco, como ilustra a figura a seguir.
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(HJ = a', não a)
Campo da esfera maior: [tex3]E = \frac{Q_{\text{int}}}{4\pi \varepsilon_0 x^2} = \frac{\rho }{3\varepsilon_0} x[/tex3]
Campo da esfera menor: [tex3]E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 y^2} = \frac{\rho r^3}{3 \varepsilon_0 y^2}[/tex3]
distância y entre o centro da cavidade e do ponto considerado: [tex3]y = \sqrt{x^2 +a^2 - 2ax \cos \theta}[/tex3]
A física acaba aqui. Agora é geometria pura. Temos, da semelhança do triângulo da figura,
[tex3]\frac{a'}{x} = \frac{E}{y} \therefore a' = \frac{Ex}{y}[/tex3]
onde E é o campo elétrico devido a cavidade. Assim, sendo a' o módulo da componente desse campo na direção x, segue que:
[tex3]E_x = \frac{Ex}{y} = \frac{\rho r^3x}{3 \varepsilon_0 y^3} [/tex3]
de modo que, [tex3]\vec E _x = \frac{\rho }{3\varepsilon_0}\vec x - \frac{\rho r^3}{3\varepsilon_0 (\sqrt{x^2 +a^2 -2ax \cos \theta})^3}
= \frac{\rho}{3\varepsilon_0} \left( 1- \frac{r^3}{(\sqrt{x^2+a^2 -2ax \cos \theta)^3}}\right) \vec x[/tex3]
Agora, mesma coisa para a direção de [tex3]\vec a[/tex3]
[tex3]\frac{b}{a} = \frac{E}{y} \Longrightarrow b = \frac{Ea}{y}[/tex3]
de modo que,
[tex3]\vec E_a = \frac{E}{y} \vec a = \frac{\rho r^3}{3\varepsilon_0(\sqrt{x^2+a^2-2ax \cos \theta} )^3}[/tex3]
finalmente,
[tex3]\vec E (x, \theta) = \vec E _x + \vec E_a =\frac{\rho }{3 \varepsilon_0} \left\{\left(1 - \frac{r^3}{(\sqrt{x^2 +a^2 - 2ax \cos \theta})} \right) \vec x + \frac{r^3}{(\sqrt{x^2+a^2 - 2ax \cos \theta})^3} \vec a \right\} [/tex3]
hihi
