IME/ITA ⇒ (Escola Naval - 2005) Dinâmica

[igorAVMB]

Uma equipe de Marinha decola de um porta–aviões, em repouso relativamente à terra, a bordo de um helicóptero e quando se encontra na posição r=7500i+2j (em metros) , em relação à embarcação, realizando vôo com velocidade v=-60i+80j (m/s), o helicóptero dispara um foguete teste de massa igual a 6,00 kg. O sistema propulsor aplica uma força resultante, de módulo igual a 30,0 N, sobre o foguete, na mesma direção e sentido do movimento do helicóptero no momento do disparo, durante 2,00 s. Posteriormente, o foguete cai no mar. Despreze a resistência do ar e o vento

a) Calcule o vetor posição do foguete, em relação à embarcação, no instante t=2,00 s.
b) Calcule o trabalho realizado pela força resultante que atua sobre o foguete no intervalo de tempo de 2,00 s.
c) Calcule o intervalo de tempo desde o instante do disparo até o instante em que o foguete passa no nível da pista de pouso da embarcação (Y=0) . Considere a aceleração da gravidade constante e igual 10,0 m/s²




Alguém ajuda nessa? pq toda eu não sei, se devo considerar a aceleração da gravidade e fazer a soma vetorial com a aceleração que F provoca no eixo y, para poder resolver a letra A..
E na letra b, eu não sei se posso pegar o módulo de v no instante do lançamento, e o módulo de v no instante t=2s e fazer a variação da energia cinética é igual o trabalho.. Alguem pode me tirar essas dúvidas, por favor
Eu não tenho as respostas, infelizmente. Obrigado pela ajuda

[Planck]

Alguém tem alguma ideia para resolver essa questão? Consegui alguns valores, mas parecem muito irrisórios por se tratar de um míssil (foguete). Uma ideia foi utilizar o teorema do impulso.

[Planck]

O que imaginei foi observar o vetor velocidade:

geogebra-export - 2019-06-29T103329.454.png (40.77 KiB) Exibido 1415 vezes

Assim, o vetor resultante da velocidade é dado por [tex3]|\vec {\text{v}}| = 100 ~\text{[m/s]}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec {\text{v}}| = 100 ~\text{[m/s]}[/tex3]

. Pelo teorema do impulso:

[tex3]|\vec {\text{I}}| = |\vec {\text{F}}| \cdot \Delta \text{t} \, \, \implies \, \, |\vec {\text{I}}| = 60 \, \, \iff \, \, 60 = \Delta \vec {\text{Q}} \, \, \implies 60 = m \cdot |\vec {\text{v}_{\text{f}}}| - m \cdot |\vec {\text{v}_{\text{i}}}|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec {\text{I}}| = |\vec {\text{F}}| \cdot \Delta \text{t} \, \, \implies \, \, |\vec {\text{I}}| = 60 \, \, \iff \, \, 60 = \Delta \vec {\text{Q}} \, \, \implies 60 = m \cdot |\vec {\text{v}_{\text{f}}}| - m \cdot |\vec {\text{v}_{\text{i}}}|[/tex3]

Com isso, resolvendo para [tex3]|\vec {\text{v}_{\text{f}}}|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec {\text{v}_{\text{f}}}|[/tex3]

:

[tex3]\frac{60 + m \cdot |\vec {\text{v}_{\text{i}}}|}{m}= |\vec {\text{v}_{\text{f}}}| \, \, \implies \, \, |\vec {\text{v}_{\text{f}}}| = 110 ~\text{[m/s]} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{60 + m \cdot |\vec {\text{v}_{\text{i}}}|}{m}= |\vec {\text{v}_{\text{f}}}| \, \, \implies \, \, |\vec {\text{v}_{\text{f}}}| = 110 ~\text{[m/s]} [/tex3]

Nesse contexto, o vetor velocidade é dado por [tex3]\vec {\text{v}} = -66 \hat i + 88\hat j[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec {\text{v}} = -66 \hat i + 88\hat j[/tex3]

e o vetor posição do foguete de teste [tex3]\vec r = 7494 \hat i + 10 \hat j[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec r = 7494 \hat i + 10 \hat j[/tex3]

.

[Planck]

Acredito ter encontrado um caminho para essa questão. É possível notar que o míssil irá seguir a trajetória dada pela hipotenusa do triângulo formado pelos versores [tex3]-60 \hat{\text i}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-60 \hat{\text i}[/tex3]

e [tex3]80 \hat{\text j}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]80 \hat{\text j}.[/tex3]

Nesse sentido, podemos utilizar as relações trigonométricas para analisar a atuação da força resultante em cada eixo, ou seja, vamos decompor a força resultante, gerada pelo propulsor do míssil (foguete):

[tex3]\text F = 30 ~\text N \begin{cases} \text F_x = 30 \cdot \cos\vartheta =18 \text{ N} \\ \text F_y = 30 \cdot \sen \vartheta = 24 \text { N} \end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text F = 30 ~\text N \begin{cases} \text F_x = 30 \cdot \cos\vartheta =18 \text{ N} \\ \text F_y = 30 \cdot \sen \vartheta = 24 \text { N} \end{cases}[/tex3]

Agora, podemos analisar melhor o que é pedido em cada item.

a) Pelo Teorema do Impulso, ficamos com:

[tex3]|\vec {\text I} | = |\vec{\text F} | \cdot \Delta \text t \iff \Delta \mathrm {|\vec Q| = |\vec F|} \cdot \Delta \text t[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec {\text I} | = |\vec{\text F} | \cdot \Delta \text t \iff \Delta \mathrm {|\vec Q| = |\vec F|} \cdot \Delta \text t[/tex3]

Desenvolvendo o primeiro membro, vamos obter que:

[tex3]\text m \cdot \mathrm {|\vec v| = |\vec F|} \cdot \Delta \text t[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text m \cdot \mathrm {|\vec v| = |\vec F|} \cdot \Delta \text t[/tex3]

Expandindo [tex3]\vec{\text v}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{\text v}[/tex3]

para [tex3]\tfrac{\Delta \vec{\text s}}{\Delta \text t}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tfrac{\Delta \vec{\text s}}{\Delta \text t}[/tex3]

:

[tex3]\text m \cdot \tfrac{\Delta |\vec{\text s}|}{\Delta \text t} = \mathrm{|\vec F|} \cdot \Delta \text t[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text m \cdot \tfrac{\Delta |\vec{\text s}|}{\Delta \text t} = \mathrm{|\vec F|} \cdot \Delta \text t[/tex3]

Resolvendo para [tex3]\Delta |\vec{\text s}|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta |\vec{\text s}|[/tex3]

:

[tex3]\Delta |\vec{\text s}|= \frac{\mathrm{|\vec F|} \cdot \Delta \text t^2}{\text m}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta |\vec{\text s}|= \frac{\mathrm{|\vec F|} \cdot \Delta \text t^2}{\text m}[/tex3]

Substituindo os valores, para cada eixo: na vertical ficamos com [tex3]\text F_y = 24 \text{ N}, ~\text m = 6 \text{ kg},~\Delta \text t=2 \text{ s}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text F_y = 24 \text{ N}, ~\text m = 6 \text{ kg},~\Delta \text t=2 \text{ s}[/tex3]

e na horizontal ficamos com [tex3]\text F_y = 18 \text{ N}, ~\text m = 6 \text{ kg},~\Delta \text t=2 \text{ s}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text F_y = 18 \text{ N}, ~\text m = 6 \text{ kg},~\Delta \text t=2 \text{ s}.[/tex3]

Disso, vem que [tex3]\Delta |\vec{\text s}|_x = 12 \text{ m}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta |\vec{\text s}|_x = 12 \text{ m}[/tex3]

e [tex3]\Delta |\vec{\text s}|_y = 16 \text{ m}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta |\vec{\text s}|_y = 16 \text{ m}.[/tex3]

Esses valores fornecem o seguinte vetor posição:

[tex3]{\color{RoyalBlue} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {\vec{\text r} = -7488 \hat{\text i} + 18 \hat{\text j}}^{{⠀}^{⠀}} }}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\color{RoyalBlue} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {\vec{\text r} = -7488 \hat{\text i} + 18 \hat{\text j}}^{{⠀}^{⠀}} }}[/tex3]

b) Durante os 2 segundos iniciais, a força que o sistema propulsor aplica no míssil (ou foguete) é paralela ao deslocamento, dado pelo módulo do vetor deslocamento:

[tex3]\mathrm {\vec W = \vec F \cdot \vec d \cdot \cos \vartheta \iff \vec W = 30 \cdot \cancelto{20}{\sqrt {(7500-7488)^2+(18-2)^2}} = {\color{RoyalBlue} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {600 ~\text J}^{{⠀}^{⠀}} }}} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathrm {\vec W = \vec F \cdot \vec d \cdot \cos \vartheta \iff \vec W = 30 \cdot \cancelto{20}{\sqrt {(7500-7488)^2+(18-2)^2}} = {\color{RoyalBlue} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {600 ~\text J}^{{⠀}^{⠀}} }}} [/tex3]

c) Após o sistema de propulsão parar, o foguete segue em movimento, descrevendo um lançamento oblíquo, com posição vertical inicial em 18 metros de altura e velocidade inicial vertical de [tex3]8 \text{ m/s}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]8 \text{ m/s}.[/tex3]

¹ Pela função horária dos espaços, podemos fazer que:

[tex3]\mathrm{S ~{}^y = S_0~{}^y + v_0{}^y t + \frac{g t^2}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathrm{S ~{}^y = S_0~{}^y + v_0{}^y t + \frac{g t^2}{2}}[/tex3]

Como estamos usando um sistema cartesiano, as orientações no sentido crescente dos eixos são positivas. Observe que, com isso, a gravidade está orientada no sentido negativo e a velocidade inicial vertical está orientada no sentido positivo. Logo, obtemos que:

[tex3]\mathrm{0 =18 + 8t -5 t^2 \implies t_1 \approx -1,26 ~s, ~t_2 \approx 2,86 ~s}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathrm{0 =18 + 8t -5 t^2 \implies t_1 \approx -1,26 ~s, ~t_2 \approx 2,86 ~s}[/tex3]

Apenas o tempo positivo é útil no contexto. Somado ao tempo de impulsão pelo sistema de propulsão do foguete, ficamos com um intervalo de tempo aproximado de [tex3]4,86 ~\text s,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4,86 ~\text s,[/tex3]

desde o instante do disparo até o momento que o foguete passa no nível [tex3]y = 0.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y = 0.[/tex3]

Observações:
[1] A velocidade vertical inicial pode ser obtida pelo teorema do impulso no eixo vertical:

[tex3]\text m \cdot \mathrm {|\vec v_y| = |\vec F_y|} \cdot \Delta \text t[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text m \cdot \mathrm {|\vec v_y| = |\vec F_y|} \cdot \Delta \text t[/tex3]

[2] Qualquer sugestão ou correção, favor manifestar-se.