IME/ITA ⇒ (Simulado IME) Potencial Elétrico

[gabrielifce]

Teste esferas metálicas idênticas de raio r estão localizadas nos vértices de um triângulo isósceles, como se mostra na figura (supor r <<a). As esferas estão inicialmente com carga q cada. As esferas 1 e 2 são ligadas por um curto período de tempo, com um fio condutor, em seguida, o fio é retirado. Determine as cargas finais das esferas 1 e 2 após o processo.

Resposta

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Q1:q (1+[tex3]\frac{a}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{2}[/tex3]

(1-[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2})[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2})[/tex3]

) e Q2:=q (1-[tex3]\frac{a}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{2}[/tex3]

(1-[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2})[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2})[/tex3]

)

[Tassandro]

gabrielifce,
No início
[tex3]V_1=\frac{kq}a+\frac{kq}{a\sqrt2}+\frac{kq}r=\frac{kq(\sqrt2+1)}{a\sqrt2}+\frac{kq}r\tag*{}[/tex3]

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[tex3]V_1=\frac{kq}a+\frac{kq}{a\sqrt2}+\frac{kq}r=\frac{kq(\sqrt2+1)}{a\sqrt2}+\frac{kq}r\tag*{}[/tex3]

[tex3]V_2=\frac{kq}a+\frac{kq}a+\frac{kq}r\tag*{}[/tex3]

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[tex3]V_2=\frac{kq}a+\frac{kq}a+\frac{kq}r\tag*{}[/tex3]

Após o fio ter estabelecido o equilíbrio
[tex3]V_1=\frac{kq_1}r+\frac{kq_2}{a}+\frac{kq}{a\sqrt2}\tag*{}\\
V_2=\frac{kq_2}r+\frac{kq}a+\frac{kq_1}a[/tex3]

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[tex3]V_1=\frac{kq_1}r+\frac{kq_2}{a}+\frac{kq}{a\sqrt2}\tag*{}\\
V_2=\frac{kq_2}r+\frac{kq}a+\frac{kq_1}a[/tex3]

Fazendo [tex3]V_1=V_2,[/tex3]

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[tex3]V_1=V_2,[/tex3]

vem que
[tex3]q_2\(\frac1a-\frac1r\)+q_1\(\frac1r-\frac1a\)=\frac qa\(1-\frac{1}{\sqrt2}\)\tag*{}[/tex3]

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[tex3]q_2\(\frac1a-\frac1r\)+q_1\(\frac1r-\frac1a\)=\frac qa\(1-\frac{1}{\sqrt2}\)\tag*{}[/tex3]

Mas da conservação das cargas, [tex3]q_1+q_2=2q[/tex3]

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[tex3]q_1+q_2=2q[/tex3]

Assim, temos o sistema
[tex3]\begin{cases}q_2\(\frac1a-\frac1r\)+q_1\(\frac1r-\frac1a\)=\frac qa\(1-\frac{1}{\sqrt2}\)\\ q_1+q_2=2q\end{cases}\tag*{}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}q_2\(\frac1a-\frac1r\)+q_1\(\frac1r-\frac1a\)=\frac qa\(1-\frac{1}{\sqrt2}\)\\ q_1+q_2=2q\end{cases}\tag*{}[/tex3]

Resolvendo, achamos que
[tex3]q_1=q\bigg[1+\frac r{2a}\(1-\frac{\sqrt2}{2}\)\bigg]\\
q_2=q\bigg[1-\frac{r}{2a}\(1-\frac{\sqrt2}2\)\bigg]\tag*{}[/tex3]

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[tex3]q_1=q\bigg[1+\frac r{2a}\(1-\frac{\sqrt2}{2}\)\bigg]\\
q_2=q\bigg[1-\frac{r}{2a}\(1-\frac{\sqrt2}2\)\bigg]\tag*{}[/tex3]