IME/ITA ⇒ (Simulado ITA) Movimento Harmónico Simples Tópico resolvido

[jrneliodias]

Uma plataforma de massa M possui haste vertical e na extremidade superior existe um cordão com uma massa

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[tex3]m[/tex3]

presa a outra extremidade. Considere que não há atrito entre a plataforma e o solo. Determine o período para pequenas oscilações do sistema.

de.png (1.86 KiB) Exibido 2585 vezes

Explicado por favor.
Obrigado pela atenção.

[Auto Excluído (ID:12031)]

calcule o campo gravitacional de uma placa infinita homogênea usando a lei de Gauss
comparando as fórmulas dos campos:
[tex3]G M = \frac{q}{4\pi \epsilon}[/tex3]

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[tex3]G M = \frac{q}{4\pi \epsilon}[/tex3]

[tex3]\int \vec{g} \cdot \vec{dS} = 4\pi GM[/tex3]

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[tex3]\int \vec{g} \cdot \vec{dS} = 4\pi GM[/tex3]

[tex3]g 2 \pi R^2 = 4\pi G \sigma \pi R^2[/tex3]

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[tex3]g 2 \pi R^2 = 4\pi G \sigma \pi R^2[/tex3]

[tex3]g = 2 \pi G \sigma[/tex3]

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[tex3]g = 2 \pi G \sigma[/tex3]

o período de oscilações pequenas de um pendulo simples é

[tex3]T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g + 2 \pi G \sigma}}[/tex3]

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[tex3]T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g + 2 \pi G \sigma}}[/tex3]

onde sigma é a densidade superficial de massa do plano em questão.

[Deleted User 23699]

calcule o campo gravitacional de uma placa infinita homogênea usando a lei de Gauss

Não foi mencionado no enunciado que a placa é infinita.
Esse problema está em uma lista do NOIC sobre Massa Reduzida, mas não consegui aplicar direito.
Link da lista, com teoria: https://noic.com.br/materiais-fisica/id ... -ideia-05/

OBS: O gabarito dessa questão é

[tex3]T=2\pi \sqrt{\frac{Ml}{(m+M)g}}[/tex3]

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[tex3]T=2\pi \sqrt{\frac{Ml}{(m+M)g}}[/tex3]

[LeoJaques]

Primeiramente, como se trata de uma pequena oscilação, algumas aproximações devem ser feitas:

[tex3]sen\theta = \theta [/tex3]

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[tex3]sen\theta = \theta [/tex3]

e [tex3]cos\theta [/tex3]

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[tex3]cos\theta [/tex3]

= 1

1) Referencial da terra:

q1.parte1.png (211.62 KiB) Exibido 939 vezes

(Errei na hora de desenhar, confundindo [tex3]\alpha [/tex3]

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[tex3]\alpha [/tex3]

com [tex3]\theta [/tex3]

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[tex3]\theta [/tex3]

)

. Na massa M:
[tex3]F_{at} = Ma_{M} [/tex3]

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[tex3]F_{at} = Ma_{M} [/tex3]

(I)

. Na haste (massa desprezível, logo sua força resultante é igual a zero)
[tex3]F_{at} = Tsen\theta [/tex3]

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[tex3]F_{at} = Tsen\theta [/tex3]

(II)

. Como a esfera realiza uma pequena oscilação, sua força resultante na vertical deve ser nula, logo:
[tex3]T.cos\theta = mg \Rightarrow T = mg [/tex3]

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[tex3]T.cos\theta = mg \Rightarrow T = mg [/tex3]

(III)

De (I), (II) e (III): [tex3]a_{M} = \frac{Tsen\theta}{M} = \frac{mg\theta}{M} [/tex3]

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[tex3]a_{M} = \frac{Tsen\theta}{M} = \frac{mg\theta}{M} [/tex3]

(IV)

2) Referencial da esfera:
Neste referencial devemos considerar uma aceleração [tex3]a_{M}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{M}[/tex3]

no sentido contrário da aceleração sentida pela plataforma.

q1.parte2.png (170.27 KiB) Exibido 938 vezes

2º Lei de newton para rotação:

[tex3]ma_{M}cos\theta L + mgsen\theta L = I\alpha [/tex3]

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[tex3]ma_{M}cos\theta L + mgsen\theta L = I\alpha [/tex3]

Note que o momento de inércia deste sistema é [tex3]mL^2[/tex3]

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[tex3]mL^2[/tex3]

, logo: [tex3]ma_{M}cos\theta L + mgsen\theta L = mL^2\alpha \Rightarrow \frac{mgsen\theta}{M}cos\theta L + gsen\theta L = L^2\alpha \Rightarrow \frac{mg\theta }{M} L + g\theta L = L^2\alpha \Rightarrow \theta(\frac{mg }{M} + g ) = L\alpha \Rightarrow \theta(\frac{mg}{ML} + \frac{g}{L} ) = \alpha[/tex3]

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[tex3]ma_{M}cos\theta L + mgsen\theta L = mL^2\alpha \Rightarrow \frac{mgsen\theta}{M}cos\theta L + gsen\theta L = L^2\alpha \Rightarrow \frac{mg\theta }{M} L + g\theta L = L^2\alpha \Rightarrow \theta(\frac{mg }{M} + g ) = L\alpha \Rightarrow \theta(\frac{mg}{ML} + \frac{g}{L} ) = \alpha[/tex3]

, (Equação característica do MHS), logo [tex3]\omega = \sqrt{\frac{mg}{ML} + \frac{g}{L}} \Rightarrow T = 2\pi \sqrt{\frac{ML}{g(m+M)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega = \sqrt{\frac{mg}{ML} + \frac{g}{L}} \Rightarrow T = 2\pi \sqrt{\frac{ML}{g(m+M)}}[/tex3]

Note que calculamos o período T em um referencial não inercial, mas como o tempo independe do referencial (desprezando efeitos relativísticos), o período no referencial da terra é o mesmo.