IME/ITA(Simulado ITA) Movimento Harmónico Simples Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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jrneliodias
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(Simulado ITA) Movimento Harmónico Simples

Mensagem não lida por jrneliodias »

Uma plataforma de massa M possui haste vertical e na extremidade superior existe um cordão com uma massa m presa a outra extremidade. Considere que não há atrito entre a plataforma e o solo. Determine o período para pequenas oscilações do sistema.
de.png
de.png (1.86 KiB) Exibido 2480 vezes
Explicado por favor.
Obrigado pela atenção.

Última edição: jrneliodias (Ter 17 Mar, 2015 10:15). Total de 1 vez.


Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.

Auto Excluído (ID:12031)
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Abr 2015 02 23:10

Re: (Simulado ITA) Movimento Harmónico Simples

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

calcule o campo gravitacional de uma placa infinita homogênea usando a lei de Gauss
comparando as fórmulas dos campos:
[tex3]G M = \frac{q}{4\pi \epsilon}[/tex3]

[tex3]\int \vec{g} \cdot \vec{dS} = 4\pi GM[/tex3]
[tex3]g 2 \pi R^2 = 4\pi G \sigma \pi R^2[/tex3]
[tex3]g = 2 \pi G \sigma[/tex3]

o período de oscilações pequenas de um pendulo simples é

[tex3]T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g + 2 \pi G \sigma}}[/tex3]

onde sigma é a densidade superficial de massa do plano em questão.

Última edição: MateusQqMD (Sáb 19 Nov, 2022 12:51). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3



Deleted User 23699
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Mai 2021 12 18:47

Re: (Simulado ITA) Movimento Harmónico Simples

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Auto Excluído (ID:12031) escreveu:
Qui 02 Abr, 2015 23:10
calcule o campo gravitacional de uma placa infinita homogênea usando a lei de Gauss
Não foi mencionado no enunciado que a placa é infinita.
Esse problema está em uma lista do NOIC sobre Massa Reduzida, mas não consegui aplicar direito.
Link da lista, com teoria: https://noic.com.br/materiais-fisica/id ... -ideia-05/

OBS: O gabarito dessa questão é

[tex3]T=2\pi \sqrt{\frac{Ml}{(m+M)g}}[/tex3]
Última edição: Deleted User 23699 (Qua 12 Mai, 2021 18:48). Total de 1 vez.



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LeoJaques
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Re: (Simulado ITA) Movimento Harmónico Simples

Mensagem não lida por LeoJaques »

Primeiramente, como se trata de uma pequena oscilação, algumas aproximações devem ser feitas:

[tex3]sen\theta = \theta [/tex3] e [tex3]cos\theta [/tex3] = 1

1) Referencial da terra:
q1.parte1.png
q1.parte1.png (211.62 KiB) Exibido 834 vezes
(Errei na hora de desenhar, confundindo [tex3]\alpha [/tex3] com [tex3]\theta [/tex3] )

. Na massa M:
[tex3]F_{at} = Ma_{M} [/tex3] (I)

. Na haste (massa desprezível, logo sua força resultante é igual a zero)
[tex3]F_{at} = Tsen\theta [/tex3] (II)

. Como a esfera realiza uma pequena oscilação, sua força resultante na vertical deve ser nula, logo:
[tex3]T.cos\theta = mg \Rightarrow T = mg [/tex3] (III)

De (I), (II) e (III): [tex3]a_{M} = \frac{Tsen\theta}{M} = \frac{mg\theta}{M} [/tex3] (IV)

2) Referencial da esfera:
Neste referencial devemos considerar uma aceleração [tex3]a_{M}[/tex3] no sentido contrário da aceleração sentida pela plataforma.
q1.parte2.png
q1.parte2.png (170.27 KiB) Exibido 833 vezes
2º Lei de newton para rotação:

[tex3]ma_{M}cos\theta L + mgsen\theta L = I\alpha [/tex3]
Note que o momento de inércia deste sistema é [tex3]mL^2[/tex3] , logo: [tex3]ma_{M}cos\theta L + mgsen\theta L = mL^2\alpha \Rightarrow \frac{mgsen\theta}{M}cos\theta L + gsen\theta L = L^2\alpha \Rightarrow \frac{mg\theta }{M} L + g\theta L = L^2\alpha \Rightarrow \theta(\frac{mg }{M} + g ) = L\alpha \Rightarrow \theta(\frac{mg}{ML} + \frac{g}{L} ) = \alpha[/tex3] , (Equação característica do MHS), logo [tex3]\omega = \sqrt{\frac{mg}{ML} + \frac{g}{L}} \Rightarrow T = 2\pi \sqrt{\frac{ML}{g(m+M)}}[/tex3]
Note que calculamos o período T em um referencial não inercial, mas como o tempo independe do referencial (desprezando efeitos relativísticos), o período no referencial da terra é o mesmo.

Última edição: LeoJaques (Sex 18 Nov, 2022 11:38). Total de 1 vez.



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