IME/ITA ⇒ (200 Puzzling Physics Problems) Dinâmica Tópico resolvido

[gabrielifce]

Um tronco de 20 cm de diâmetro encontra-se na horizontal. Um gafanhoto preguiçoso procura pular sobre o tronco. Encontre a miníma velocidade de decolagem do gafanhoto que será suficiente? Despreze a resistência do ar.

Pergunta Original: A tree-trunk of diameter 20cm lies in horizontal field. A lazy grasshopper wants to jump over the trunk. Find the minimum take-off speed of the grasshopper that will suffice. (Air resistance is negligible).

Obs.: Eu li a resolução, no entanto não compreendi o motivo de não ter considerado o ponto mais alto do tronco sendo tangenciado pelo gafanhoto.

[DanielEsPCEx]

O Gabarito é 2!?

[gabrielifce]

Vish cara da uma raíz de alguma coisa. ...Se amnha tu quiser posto o gabarito ou talvez ainda hoje, daqui umas 3-4horas

[Tassandro]

gabrielifce,
Só daria para esse ângulo ser 0° se o raio do tronco fosse 0 ou se não existesse gravidade.
Seja θ o ângulo entre a velocidade v com que o gafanhoto tangencia o tronco e a superfície do mesmo.
Temos que a trajetória do gafanhoto ao longo do tronco é parabólica e o seu alcance vale (por geometria simples) [tex3]2R\senθ[/tex3]

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[tex3]2R\senθ[/tex3]

Lembrando da fórmula do alcance
[tex3]A=\frac{v^2\sen2θ}g\implies 2R\senθ=\frac{2v^2\senθ\cosθ}{g}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{v^2\sen2θ}g\implies 2R\senθ=\frac{2v^2\senθ\cosθ}{g}[/tex3]

Como θ é diferente de kπ, podemos simplificar e obter
[tex3]v^2=\frac{Rg}{\cosθ}[/tex3]

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[tex3]v^2=\frac{Rg}{\cosθ}[/tex3]

Agora, pela conservação da energia mecânica (pois a única força que atua no gafanhoto é a força peso), é fácil achar que, sendo u a velocidade inicial do gafanhoto,
[tex3]u^2=v^2+2Rg(1+\cosθ)=2Rg+Rg\(\frac{1}{\cosθ}+2\cosθ\)[/tex3]

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[tex3]u^2=v^2+2Rg(1+\cosθ)=2Rg+Rg\(\frac{1}{\cosθ}+2\cosθ\)[/tex3]

O enunciado pede a velocidade mínima. Note que 2, R e g são constantes, então basta minimizarmos [tex3]\secθ+2\cosθ[/tex3]

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[tex3]\secθ+2\cosθ[/tex3]

. Note que θ está no primeiro quadrante, logo, vale a desigualdade [tex3]M.A.\geq M.G.\implies[/tex3]

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[tex3]M.A.\geq M.G.\implies[/tex3]

[tex3]\secθ+\cosθ\geq2\sqrt{\secθ\cdot2\cosθ}=2\sqrt2[/tex3]

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[tex3]\secθ+\cosθ\geq2\sqrt{\secθ\cdot2\cosθ}=2\sqrt2[/tex3]

Logo,
[tex3]u_{mín}=\sqrt{2Rg+Rg\cdot2\sqrt2}=\sqrt{2Rg(1+\sqrt2)}[/tex3]

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[tex3]u_{mín}=\sqrt{2Rg+Rg\cdot2\sqrt2}=\sqrt{2Rg(1+\sqrt2)}[/tex3]

Agora é só substituir os valores, o que nos dá [tex3]v\approx2,2\text{ m/s}[/tex3]

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[tex3]v\approx2,2\text{ m/s}[/tex3]