IME/ITA ⇒ (ITA - 1993) Hidroestática Tópico resolvido

[jrneliodias]

Os dois vasos comunicantes a seguir são abertos, têm seções retas iguais a [tex3]S[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S[/tex3]

e contêm um líquido de massa específica [tex3]\rho[/tex3]

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[tex3]\rho[/tex3]

. Introduz-se no vaso esquerdo um cilindro maciço e homogêneo de massa [tex3]M[/tex3]

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[tex3]M[/tex3]

, seção [tex3]S'<S[/tex3]

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[tex3]S'<S[/tex3]

e menos denso que líquido. O cilindro é introduzido e abandonado de modo que no equilíbrio seu eixo permaneça vertical. Podemos afirmar que no equilíbrio o nível de ambos os vasos sobe:

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a) [tex3]\frac{M}{\rho\,(S-S')}[/tex3]

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[tex3]\frac{M}{\rho\,(S-S')}[/tex3]

b) [tex3]\frac{M}{\rho\,(2S-S')}[/tex3]

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[tex3]\frac{M}{\rho\,(2S-S')}[/tex3]

c) [tex3]\frac{M}{2\rho\,(2S-S')}[/tex3]

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[tex3]\frac{M}{2\rho\,(2S-S')}[/tex3]

d) [tex3]\frac{2M}{2\rho\,(2S-S')}[/tex3]

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[tex3]\frac{2M}{2\rho\,(2S-S')}[/tex3]

e) [tex3]\frac{M}{2\rho\,S}[/tex3]

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[tex3]\frac{M}{2\rho\,S}[/tex3]

Gabarito:

---

Letra e

Obrigado pela atenção.

[pinhata]

A massa de liquido deslocada é igual a massa do corpo.

Mliqdes = Mcorpo
pS'(L+X) = m (1)

Vsubmerso do corpo = volume de líquido deslocado
VsubC= VA (volume de líquido que sobe em um dos lados)+ VB (volume que sobe no lado que não contem o cilíndro)
S'.L = (S-S').x + Sx
Da manibupalçao algébrica vem : L=[tex3]\left(\frac{x(2S-S')}{S'}\right)[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{x(2S-S')}{S'}\right)[/tex3]

(2)

com (2) em (1)

pS[[tex3]\left(\frac{x(2S-S')}{S'}\right)[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{x(2S-S')}{S'}\right)[/tex3]

+ x] = M

manipulando temos p2Sx = M

portanto x= [tex3]\frac{M}{2Sp}[/tex3]

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[tex3]\frac{M}{2Sp}[/tex3]

[Radius]

pinhata, acho que você considerou que o cilindro estava completamente submerso no líquido.

e não entendi o que te levou a escrever esta equação: [tex3]pS'(L+x) = M[/tex3]

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[tex3]pS'(L+x) = M[/tex3]

.

Aqui está como eu fiz:

Sendo [tex3]L[/tex3]

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[tex3]L[/tex3]

a altura do cilindro e [tex3]\rho[/tex3]

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[tex3]\rho[/tex3]

a densidade do líquido, vamos ter no equilíbrio

[tex3]E=Mg \\\\ m_{\ell iq\,desl}\cdot g=Mg \\\\ \rho \cdot V'=M \\\\ \boxed{V'=\frac{M}{\rho}}[/tex3]

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[tex3]E=Mg \\\\ m_{\ell iq\,desl}\cdot g=Mg \\\\ \rho \cdot V'=M \\\\ \boxed{V'=\frac{M}{\rho}}[/tex3]

em que [tex3]V'[/tex3]

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[tex3]V'[/tex3]

é o volume da parte do cilindro que está submerso.

Então,

Vsubmerso do corpo = volume de líquido deslocado
Vsubmerso do corpo = VA (volume de líquido que sobe em um dos lados)+ VB (volume que sobe no lado que não contém o cilindro)

[tex3]V'=(S-S')x+Sx \\\\ \frac{M}{\rho}=(2S-S')x \\\\ \boxed{x=\frac{M}{\rho(2S-S')}}[/tex3]

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[tex3]V'=(S-S')x+Sx \\\\ \frac{M}{\rho}=(2S-S')x \\\\ \boxed{x=\frac{M}{\rho(2S-S')}}[/tex3]

Então teríamos a letra B. Em um outro exercício igual do ita http://www.tutorbrasil.com.br/forum/fis ... 26142.html a resposta deste é equivalente a que obtive. Por isso desconfio que o gabarito desse problema seja a letra B.

outro tópico similar: http://www.tutorbrasil.com.br/forum/fis ... 26184.html

[pinhata]

Caro colega, conheço inclusive o exemplo que tu me diz qual é e sinto de dizer que o ita errou aquela questão e na verdade não há gabarito para aquele teste.
Nessa minha resolução não pensei no cilíndro totalmente submerso, mande-me uma mensagem privada que te mando uma imagem da situação e explico melhor a resolução!

[Radius]

o ita errou naquela questão? de onde você conseguiu essa informação?

E se possível vc pode botar sua resolução aqui mesmo.

[pinhata]

não consigo postar a foto para voces visualizarem melhor a questão, aqui diz que é muito grande o arquivo, me mandem seus emails e explico.

O erro deles está no fato de não terem tomado cuidado para que a relação de volume descolado pelo cilindro fosse igual a soma do volume de agua que sobe nos dois lado do tubo em U.

[Vinisth]

Radius tem razão.

[jrneliodias]

Olá, pessoal.

Percebi que o erro na solução de radius é considerar que o volume Va e Vb são diferentes. Acontece que o volume deslocado pelo corpo vai se distribuído igualmente entre os tubos e eles atingem o mesmo nível. Caso contrário, haveria diferentes energias potencias e não estaria em equilíbrio.

[Radius]

Vamos resolver isso de uma vez por todas.

Seja [tex3]L[/tex3]

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[tex3]L[/tex3]

o comprimento SUBMERSO do cilindro.
Como o empuxo é igual ao seu peso:
[tex3]\rho S'Lg=Mg \\ L=\frac{M}{\rho S'}[/tex3]

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[tex3]\rho S'Lg=Mg \\ L=\frac{M}{\rho S'}[/tex3]

O volume de água deslocado é [tex3]V=S'L=\frac{M}{\rho}[/tex3]

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[tex3]V=S'L=\frac{M}{\rho}[/tex3]

esse volume deslocado é dividido nas duas colunas do tubo, denotando por [tex3]h[/tex3]

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[tex3]h[/tex3]

o aumento de altura, temos:
[tex3]V=2Sh \\ \\ h=\frac{V}{2S}=\boxed{\frac{M}{2\rho S}}[/tex3]

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[tex3]V=2Sh \\ \\ h=\frac{V}{2S}=\boxed{\frac{M}{2\rho S}}[/tex3]

Letra E.

desconsiderem minha outra solução, nem lembro mais o que tinha feito.

[HHHoppe]

volume de água deslocado é

Até aqui eu concordo.

Sua equação montada para o volume deslocado foi V = 2.S.h
Com isso, você argumenta que os volumes se distribuem igualmente.
Isso não ocorre. O que ocorre de fato é que o volume se distruibui de tal forma que se mantenha a mesma pressão em uma mesma linha. Se isso não ocorresse, o comportamento do fluido estaria violando o teorema de Stevin.
Para argumentar isso, você deve equacionar V = 2.S.h = S.h + (S - S').h
Isso decorre do fato de que, como o tubo da esquerda possui um cilindro submerso, se ele recebesse a mesma parcela de volume que o tubo da direita isso implicaria em uma altura maior em pontos de uma mesma linha de um único líquido.
Note também que não considerei que todo o corpo está submerso. Parti do mesmo volume submerso da resolução acima.

Acredito que seja isso.
Pela minha resolução, tem-se a B como gabarito.