IME/ITA

A partir do repouso, uma pedra é deixada cair da borda no alto de um edifício. A figura mostra a disposição das janelas, com as pertinentes alturas h e distâncias L que se repetem igualmente para as demais janelas, até o térreo. Se a pedra percorre a altura h da primeira janela em t segundos, quanto tempo levará para percorrer, em segundas, a mesma altura h da quarta janela? (despreze a resistência do ar)

Imagem

a)[tex3]\frac{(\sqrt{L+h}-\sqrt{L})}{(\sqrt{2L+2h}-\sqrt{2L+h})}t[/tex3]

b)[tex3]\frac{(\sqrt{2L+2h}-\sqrt{2L+h})}{(\sqrt{L+h}-\sqrt{L})}t[/tex3]

c)[tex3]\frac{(\sqrt{4(L+h)}-\sqrt{3(L+h)+L})}{(\sqrt{L+h}-\sqrt{L})}t[/tex3]

d)[tex3]\frac{(\sqrt{4(L+h)}-\sqrt{3(L+h)+L})}{(\sqrt{2L+2h}-\sqrt{2L+h})}t[/tex3]

e)[tex3]\frac{(\sqrt{3(L+h)}-\sqrt{2(L+h)+L})}{(\sqrt{L+h}-\sqrt{L})}t[/tex3]

vou isolar o tempo de queda em função da altura na equação horária do deslocamento:

[tex3]H = \frac{GT^2}{2}[/tex3]

[tex3]T = \sqrt{\frac{2H}{G}}[/tex3]
será usado bastante.

o tempo para se chegar na parte superior da última janela fica:

altura 4L+3h
[tex3]T_a = \sqrt{\frac{2(4L+3h)}{G}[/tex3]

tempo par se chegar na parte inferior da mesma:
altura

4(L+h)

[tex3]T_b = \sqrt{\frac{2\cdot 4(L+h)}{G}[/tex3]

a sua resposta é: [tex3]T_b - T_a[/tex3]
mas escrito em função de t

[tex3]t =\sqrt{\frac{2(L+h)}{G}} - \sqrt{\frac{2L}{G}[/tex3]

se eu terei t multiplicando eu escrevo

[tex3]\left(\frac{T_b-T_a}{t}\right)t[/tex3]

agora fazendo umas substituições:
[tex3]\left(\frac{\sqrt{\frac{2\cdot 4(L+h)}{G}}-\sqrt{\frac{2(4L+3h)}{G}}}{\sqrt{\frac{2(L+h)}{G}} - \sqrt{\frac{2L}{G}}}\right)t[/tex3]

agora podemos reescrever de forma independente de G

[tex3]\left(\frac{\sqrt{2\cdot 4(L+h)}-\sqrt{2(4L+3h)}}{\sqrt{2(L+h)} - \sqrt{2L}\right)t[/tex3]

cancelando os "2"

[tex3]\left(\frac{\sqrt{4(L+h)}-\sqrt{4L+3h}}{\sqrt{L+h} - \sqrt{L}\right)t[/tex3]

RESPOSTA C
é só por o 3 em evidência

Nota

Eu pessoalmente achei a sacada de dividir e multiplicar por [tex3]t[/tex3] muito interessante, ainda por ser um método pouco comum. De outro modo, eu gostaria de propor também um outra resolução a questão apenas por conveniência de aprendizagem (acho esse exercício muito interessante).

Conceito Base

Primeiro, dado conhecido que a aceleração é constante, observa a seguinte disposição:

[tex3]\frac{\Delta V}{\Delta T}=a \,\,\,\therefore\,\,\,\Delta V = a\cdot\Delta T[/tex3]

Considerando [tex3]V_1[/tex3] e [tex3]V_2[/tex3] como a velocidade antes e depois da 1º janela e [tex3]V_3[/tex3] e [tex3]V_4[/tex3] como a velocidade antes e depois da 4º janela, e ainda que [tex3]T[/tex3] é o intervalo de tempo da passagem do objeto pela 4º janela, podemos escrever que:

[tex3]V_4-V_3 = gT\\V_2-V_1 = gt[/tex3]

Sendo assim:

[tex3]\frac{V_4-V_3}{V_2-V_1} = \frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}g}}T}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}g}}t}[/tex3]

[tex3]\color{Green}\boxed{T=\[\frac{V_4-V_3}{V_2-V_1}\]t}[/tex3]

A Vantagem da Velocidade Inicial Nula

Torricelli. Ignorando o fator de tempo, podemos compor uma relação da Velocidade Final apenas com Aceleração e Distância, ainda de maneira bem simples, nos dando:

[tex3]V_f^2={\color{Red}\cancel{\color{Black}V_i^2}^0}+2a\Delta S\\V_f=\sqrt{2a\Delta S}\\V_f=\sqrt{2a}\cdot{\color{Orange}\sqrt{\Delta S}}[/tex3]

Com isso, podemos encontrar todas as velocidades (Sim, eu vou adiantar como está nas alternativas):

[tex3]\boxed{V_1=\sqrt{2a}\cdot{\color{Orange}\sqrt{L}}\\V_2=\sqrt{2a}\cdot{\color{Orange}\sqrt{L+h}}\\V_3=\sqrt{2a}\cdot{\color{Orange}\sqrt{3(L+h)+L}}\\V_4=\sqrt{2a}\cdot{\color{Orange}\sqrt{4(L+h)}}}[/tex3]

Substituindo

Antes, note que todos os valores possuem [tex3]\sqrt{2a}[/tex3] (veja também como a aceleração é irrelevante para a questão), logo, nem os colocarei nessa equação final. Prosseguindo:

[tex3]T=\[\frac{V_4-V_3}{V_2-V_1}\]t[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{T=\[\frac{\sqrt{4(L+h)}-3(L+h)+L}{\sqrt{L+h}-\sqrt{L}}\]t}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa C}[/tex3]

Extra

Para exercícios de Cinemática, é sempre importante lembrar que há cinco variáveis "principais": [tex3]V_i[/tex3] , [tex3]V_f[/tex3] , [tex3]a[/tex3] , [tex3]\Delta t[/tex3] e [tex3]\Delta S[/tex3] ; As aspas se devem a [tex3]S_i[/tex3] , [tex3]S_f[/tex3] , [tex3]t_i[/tex3] e [tex3]t_f[/tex3] , mas são menos relevantes já que normalmente tomamos que [tex3]t_i[/tex3] e [tex3]S_i[/tex3] são nulos.

E para as funções de MRUV, uma variável é ausente:

[tex3]V_i:\\\Delta S=V_ft -\frac{a{(\Delta t)}^2}{2}[/tex3]

[tex3]V_f:\\\Delta S=V_it +\frac{a{(\Delta t)}^2}{2}[/tex3]

[tex3]a:\\\frac{V_i+V_f}{2}=\frac{\Delta S}{\Delta t}\,\,\,\therefore\,\,\,V_{média}=\frac{\Delta S}{\Delta t}[/tex3]

[tex3]\Delta t:\\V_f^2=V_i^2+2a\Delta S[/tex3]

[tex3]\Delta S:\\V_f=V_i+a\Delta t[/tex3]

Ter isso em mente pode economizar o tempo de uma questão, tendo em mente as variáveis conhecidas, mas rodeios podem ser bem vindos como a ideia de usar Torricelli para encontrar os valores das velocidades através de uma igualdade mais simples.

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