A partir do repouso, uma pedra é deixada cair da borda no alto de um edifício. A figura mostra a disposição das janelas, com as pertinentes alturas h e distâncias L que se repetem igualmente para as demais janelas, até o térreo. Se a pedra percorre a altura h da primeira janela em t segundos, quanto tempo levará para percorrer, em segundas, a mesma altura h da quarta janela? (despreze a resistência do ar)
a)[tex3]\frac{(\sqrt{L+h}-\sqrt{L})}{(\sqrt{2L+2h}-\sqrt{2L+h})}t[/tex3]
b)[tex3]\frac{(\sqrt{2L+2h}-\sqrt{2L+h})}{(\sqrt{L+h}-\sqrt{L})}t[/tex3]
c)[tex3]\frac{(\sqrt{4(L+h)}-\sqrt{3(L+h)+L})}{(\sqrt{L+h}-\sqrt{L})}t[/tex3]
d)[tex3]\frac{(\sqrt{4(L+h)}-\sqrt{3(L+h)+L})}{(\sqrt{2L+2h}-\sqrt{2L+h})}t[/tex3]
e)[tex3]\frac{(\sqrt{3(L+h)}-\sqrt{2(L+h)+L})}{(\sqrt{L+h}-\sqrt{L})}t[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Prof. Caju
IME/ITA ⇒ tempo em função da altura (ita 2003) Tópico resolvido
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Out 2007
16
22:11
Re: tempo em função da altura (ita 2003)
vou isolar o tempo de queda em função da altura na equação horária do deslocamento:
[tex3]H = \frac{GT^2}{2}[/tex3]
[tex3]T = \sqrt{\frac{2H}{G}}[/tex3]
será usado bastante.
o tempo para se chegar na parte superior da última janela fica:
altura 4L+3h
[tex3]T_a = \sqrt{\frac{2(4L+3h)}{G}[/tex3]
tempo par se chegar na parte inferior da mesma:
altura
4(L+h)
[tex3]T_b = \sqrt{\frac{2\cdot 4(L+h)}{G}[/tex3]
a sua resposta é: [tex3]T_b - T_a[/tex3]
mas escrito em função de t
[tex3]t =\sqrt{\frac{2(L+h)}{G}} - \sqrt{\frac{2L}{G}[/tex3]
se eu terei t multiplicando eu escrevo
[tex3]\left(\frac{T_b-T_a}{t}\right)t[/tex3]
agora fazendo umas substituições:
[tex3]\left(\frac{\sqrt{\frac{2\cdot 4(L+h)}{G}}-\sqrt{\frac{2(4L+3h)}{G}}}{\sqrt{\frac{2(L+h)}{G}} - \sqrt{\frac{2L}{G}}}\right)t[/tex3]
agora podemos reescrever de forma independente de G
[tex3]\left(\frac{\sqrt{2\cdot 4(L+h)}-\sqrt{2(4L+3h)}}{\sqrt{2(L+h)} - \sqrt{2L}\right)t[/tex3]
cancelando os "2"
[tex3]\left(\frac{\sqrt{4(L+h)}-\sqrt{4L+3h}}{\sqrt{L+h} - \sqrt{L}\right)t[/tex3]
RESPOSTA C
é só por o 3 em evidência
[tex3]H = \frac{GT^2}{2}[/tex3]
[tex3]T = \sqrt{\frac{2H}{G}}[/tex3]
será usado bastante.
o tempo para se chegar na parte superior da última janela fica:
altura 4L+3h
[tex3]T_a = \sqrt{\frac{2(4L+3h)}{G}[/tex3]
tempo par se chegar na parte inferior da mesma:
altura
4(L+h)
[tex3]T_b = \sqrt{\frac{2\cdot 4(L+h)}{G}[/tex3]
a sua resposta é: [tex3]T_b - T_a[/tex3]
mas escrito em função de t
[tex3]t =\sqrt{\frac{2(L+h)}{G}} - \sqrt{\frac{2L}{G}[/tex3]
se eu terei t multiplicando eu escrevo
[tex3]\left(\frac{T_b-T_a}{t}\right)t[/tex3]
agora fazendo umas substituições:
[tex3]\left(\frac{\sqrt{\frac{2\cdot 4(L+h)}{G}}-\sqrt{\frac{2(4L+3h)}{G}}}{\sqrt{\frac{2(L+h)}{G}} - \sqrt{\frac{2L}{G}}}\right)t[/tex3]
agora podemos reescrever de forma independente de G
[tex3]\left(\frac{\sqrt{2\cdot 4(L+h)}-\sqrt{2(4L+3h)}}{\sqrt{2(L+h)} - \sqrt{2L}\right)t[/tex3]
cancelando os "2"
[tex3]\left(\frac{\sqrt{4(L+h)}-\sqrt{4L+3h}}{\sqrt{L+h} - \sqrt{L}\right)t[/tex3]
RESPOSTA C
é só por o 3 em evidência
Se você não pode ajudar, atrapalhe, porque o importante é participar!
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Jan 2022
19
19:42
Re: tempo em função da altura (ita 2003)
Nota
Eu pessoalmente achei a sacada de dividir e multiplicar por [tex3]t[/tex3] muito interessante, ainda por ser um método pouco comum. De outro modo, eu gostaria de propor também um outra resolução a questão apenas por conveniência de aprendizagem (acho esse exercício muito interessante).
Conceito Base
Primeiro, dado conhecido que a aceleração é constante, observa a seguinte disposição:
[tex3]\frac{\Delta V}{\Delta T}=a \,\,\,\therefore\,\,\,\Delta V = a\cdot\Delta T[/tex3]
Considerando [tex3]V_1[/tex3] e [tex3]V_2[/tex3] como a velocidade antes e depois da 1º janela e [tex3]V_3[/tex3] e [tex3]V_4[/tex3] como a velocidade antes e depois da 4º janela, e ainda que [tex3]T[/tex3] é o intervalo de tempo da passagem do objeto pela 4º janela, podemos escrever que:
[tex3]V_4-V_3 = gT\\V_2-V_1 = gt[/tex3]
Sendo assim:
[tex3]\frac{V_4-V_3}{V_2-V_1} = \frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}g}}T}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}g}}t}[/tex3]
[tex3]\color{Green}\boxed{T=\[\frac{V_4-V_3}{V_2-V_1}\]t}[/tex3]
A Vantagem da Velocidade Inicial Nula
Torricelli. Ignorando o fator de tempo, podemos compor uma relação da Velocidade Final apenas com Aceleração e Distância, ainda de maneira bem simples, nos dando:
[tex3]V_f^2={\color{Red}\cancel{\color{Black}V_i^2}^0}+2a\Delta S\\V_f=\sqrt{2a\Delta S}\\V_f=\sqrt{2a}\cdot{\color{Orange}\sqrt{\Delta S}}[/tex3]
Com isso, podemos encontrar todas as velocidades (Sim, eu vou adiantar como está nas alternativas):
[tex3]\boxed{V_1=\sqrt{2a}\cdot{\color{Orange}\sqrt{L}}\\V_2=\sqrt{2a}\cdot{\color{Orange}\sqrt{L+h}}\\V_3=\sqrt{2a}\cdot{\color{Orange}\sqrt{3(L+h)+L}}\\V_4=\sqrt{2a}\cdot{\color{Orange}\sqrt{4(L+h)}}}[/tex3]
Substituindo
Antes, note que todos os valores possuem [tex3]\sqrt{2a}[/tex3] (veja também como a aceleração é irrelevante para a questão), logo, nem os colocarei nessa equação final. Prosseguindo:
[tex3]T=\[\frac{V_4-V_3}{V_2-V_1}\]t[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{T=\[\frac{\sqrt{4(L+h)}-3(L+h)+L}{\sqrt{L+h}-\sqrt{L}}\]t}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa C}[/tex3]
Extra
Para exercícios de Cinemática, é sempre importante lembrar que há cinco variáveis "principais": [tex3]V_i[/tex3] , [tex3]V_f[/tex3] , [tex3]a[/tex3] , [tex3]\Delta t[/tex3] e [tex3]\Delta S[/tex3] ; As aspas se devem a [tex3]S_i[/tex3] , [tex3]S_f[/tex3] , [tex3]t_i[/tex3] e [tex3]t_f[/tex3] , mas são menos relevantes já que normalmente tomamos que [tex3]t_i[/tex3] e [tex3]S_i[/tex3] são nulos.
E para as funções de MRUV, uma variável é ausente:
[tex3]V_i:\\\Delta S=V_ft -\frac{a{(\Delta t)}^2}{2}[/tex3]
[tex3]V_f:\\\Delta S=V_it +\frac{a{(\Delta t)}^2}{2}[/tex3]
[tex3]a:\\\frac{V_i+V_f}{2}=\frac{\Delta S}{\Delta t}\,\,\,\therefore\,\,\,V_{média}=\frac{\Delta S}{\Delta t}[/tex3]
[tex3]\Delta t:\\V_f^2=V_i^2+2a\Delta S[/tex3]
[tex3]\Delta S:\\V_f=V_i+a\Delta t[/tex3]
Ter isso em mente pode economizar o tempo de uma questão, tendo em mente as variáveis conhecidas, mas rodeios podem ser bem vindos como a ideia de usar Torricelli para encontrar os valores das velocidades através de uma igualdade mais simples.
Eu pessoalmente achei a sacada de dividir e multiplicar por [tex3]t[/tex3] muito interessante, ainda por ser um método pouco comum. De outro modo, eu gostaria de propor também um outra resolução a questão apenas por conveniência de aprendizagem (acho esse exercício muito interessante).
Conceito Base
Primeiro, dado conhecido que a aceleração é constante, observa a seguinte disposição:
[tex3]\frac{\Delta V}{\Delta T}=a \,\,\,\therefore\,\,\,\Delta V = a\cdot\Delta T[/tex3]
Considerando [tex3]V_1[/tex3] e [tex3]V_2[/tex3] como a velocidade antes e depois da 1º janela e [tex3]V_3[/tex3] e [tex3]V_4[/tex3] como a velocidade antes e depois da 4º janela, e ainda que [tex3]T[/tex3] é o intervalo de tempo da passagem do objeto pela 4º janela, podemos escrever que:
[tex3]V_4-V_3 = gT\\V_2-V_1 = gt[/tex3]
Sendo assim:
[tex3]\frac{V_4-V_3}{V_2-V_1} = \frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}g}}T}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}g}}t}[/tex3]
[tex3]\color{Green}\boxed{T=\[\frac{V_4-V_3}{V_2-V_1}\]t}[/tex3]
A Vantagem da Velocidade Inicial Nula
Torricelli. Ignorando o fator de tempo, podemos compor uma relação da Velocidade Final apenas com Aceleração e Distância, ainda de maneira bem simples, nos dando:
[tex3]V_f^2={\color{Red}\cancel{\color{Black}V_i^2}^0}+2a\Delta S\\V_f=\sqrt{2a\Delta S}\\V_f=\sqrt{2a}\cdot{\color{Orange}\sqrt{\Delta S}}[/tex3]
Com isso, podemos encontrar todas as velocidades (Sim, eu vou adiantar como está nas alternativas):
[tex3]\boxed{V_1=\sqrt{2a}\cdot{\color{Orange}\sqrt{L}}\\V_2=\sqrt{2a}\cdot{\color{Orange}\sqrt{L+h}}\\V_3=\sqrt{2a}\cdot{\color{Orange}\sqrt{3(L+h)+L}}\\V_4=\sqrt{2a}\cdot{\color{Orange}\sqrt{4(L+h)}}}[/tex3]
Substituindo
Antes, note que todos os valores possuem [tex3]\sqrt{2a}[/tex3] (veja também como a aceleração é irrelevante para a questão), logo, nem os colocarei nessa equação final. Prosseguindo:
[tex3]T=\[\frac{V_4-V_3}{V_2-V_1}\]t[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{T=\[\frac{\sqrt{4(L+h)}-3(L+h)+L}{\sqrt{L+h}-\sqrt{L}}\]t}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa C}[/tex3]
Extra
Para exercícios de Cinemática, é sempre importante lembrar que há cinco variáveis "principais": [tex3]V_i[/tex3] , [tex3]V_f[/tex3] , [tex3]a[/tex3] , [tex3]\Delta t[/tex3] e [tex3]\Delta S[/tex3] ; As aspas se devem a [tex3]S_i[/tex3] , [tex3]S_f[/tex3] , [tex3]t_i[/tex3] e [tex3]t_f[/tex3] , mas são menos relevantes já que normalmente tomamos que [tex3]t_i[/tex3] e [tex3]S_i[/tex3] são nulos.
E para as funções de MRUV, uma variável é ausente:
[tex3]V_i:\\\Delta S=V_ft -\frac{a{(\Delta t)}^2}{2}[/tex3]
[tex3]V_f:\\\Delta S=V_it +\frac{a{(\Delta t)}^2}{2}[/tex3]
[tex3]a:\\\frac{V_i+V_f}{2}=\frac{\Delta S}{\Delta t}\,\,\,\therefore\,\,\,V_{média}=\frac{\Delta S}{\Delta t}[/tex3]
[tex3]\Delta t:\\V_f^2=V_i^2+2a\Delta S[/tex3]
[tex3]\Delta S:\\V_f=V_i+a\Delta t[/tex3]
Ter isso em mente pode economizar o tempo de uma questão, tendo em mente as variáveis conhecidas, mas rodeios podem ser bem vindos como a ideia de usar Torricelli para encontrar os valores das velocidades através de uma igualdade mais simples.
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
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