IME/ITA ⇒ Lançamento Vertical / Fluidos Tópico resolvido

[ASPIRANTE23]

Uma garrafa de altura H tem um furo muito pequeno a uma altura h. Qual o valor de h que gera um alcance máximo do escape de fluido?

Resposta

---

H/2

[παθμ]

ASPIRANTE23,

Se o furo é feito a uma altura [tex3]h,[/tex3]

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[tex3]h,[/tex3]

a velocidade do jato de água que sai dele (assumindo um fluxo laminar) é [tex3]v=\sqrt{2g(H-h)},[/tex3]

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[tex3]v=\sqrt{2g(H-h)},[/tex3]

pois [tex3]H-h[/tex3]

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[tex3]H-h[/tex3]

é a distância do furo à superfície da água.

Como a água sai horizontalmente, o tempo que ela leva para atingir o chão é [tex3]\Delta t=\sqrt{\frac{2h}{g}}.[/tex3]

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[tex3]\Delta t=\sqrt{\frac{2h}{g}}.[/tex3]

O alcance do jato é [tex3]x=v \Delta t=2\sqrt{h(H-h)}.[/tex3]

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[tex3]x=v \Delta t=2\sqrt{h(H-h)}.[/tex3]

Para maximizar isso, basta usar a desigualdade MA-MG com [tex3]h[/tex3]

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[tex3]h[/tex3]

e [tex3]H-h[/tex3]

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[tex3]H-h[/tex3]

(válida pois ambos são positivos):

[tex3]\frac{h+(H-h)}{2} \geq \sqrt{h(H-h)} \Longrightarrow 2\sqrt{h(H-h)} \leq H.[/tex3]

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[tex3]\frac{h+(H-h)}{2} \geq \sqrt{h(H-h)} \Longrightarrow 2\sqrt{h(H-h)} \leq H.[/tex3]

Então o maior alcance possível é [tex3]H,[/tex3]

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[tex3]H,[/tex3]

ocorrendo na igualdade da desigualdade MA-MG, que ocorre se e somente se [tex3]h=H-h \Longrightarrow \boxed{h=\frac{H}{2}}[/tex3]

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[tex3]h=H-h \Longrightarrow \boxed{h=\frac{H}{2}}[/tex3]