ASPIRANTE23, na aproximação [tex3]L \gg d,[/tex3]
os dois raios de luz que chegam em cada ponto do anteparo são aproximadamente paralelos. Seja [tex3]\theta[/tex3]
o ângulo que cada um faz com a horizontal. Além disso, usaremos também a aproximação de ângulos pequenos (em problemas de fendas de Young, essas aproximações quase sempre são válidas).
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A diferença que o material faz é que o raio inferior ganha uma fase adicional. Enquanto ele passa pelo material, ele tem um comprimento de onda [tex3]\lambda '=\frac{\lambda}{n},[/tex3]
daí que a variação de fase que ele sofre ao passar pelo material é [tex3]\frac{2\pi n e}{\lambda}[/tex3]
(usando a aproximação de [tex3]\theta[/tex3]
pequeno, ou seja, raio próximo da horizontal, para facilitar a conta). Se o material não estivesse lá, a variação de fase no mesmo percurso seria [tex3]\frac{2\pi e}{\lambda}.[/tex3]
Então, graças ao material, o raio de baixo ganha uma fase extra [tex3]\frac{2\pi (n-1)e}{\lambda}.[/tex3]
E veja que a diferença de caminho [tex3]\delta[/tex3]
entre os dois raios satisfaz [tex3]\sin(\theta)=\frac{\delta}{d} \Longrightarrow \delta =d\sin(\theta).[/tex3]
Então a diferença de fase entre os dois raios é [tex3]\Delta \phi=\frac{2\pi \delta}{\lambda} +\frac{2\pi (n-1)e}{\lambda}=\frac{2\pi}{\lambda}\left(d\sin(\theta)+(n-1)e\right).[/tex3]
A distância do ponto de encontro dos raios ao centro do anteparo é [tex3]y=L \tan(\theta),[/tex3]
e para ângulos pequenos temos [tex3]\sin(\theta) \approx \tan(\theta),[/tex3]
daí podemos escrever [tex3]\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda}\left(\frac{dy}{L}+(n-1)e\right).[/tex3]
A n-ésima interferência destrutiva ocorre para [tex3]\Delta \phi=(2n-1)\pi,[/tex3]
então queremos [tex3]\Delta \phi=9\pi.[/tex3]
[tex3]\frac{2\pi}{\lambda}\left(\frac{dy}{L}+(n-1)e\right)=9\pi \Longrightarrow \boxed{y=\frac{L}{d}\left(4,5\lambda-(n-1)e\right)}[/tex3]
Seu gabarito está claramente errado. Para n=1, por exemplo, o material não deveria fazer diferença alguma, ou seja, a resposta não deveria depender de [tex3]e,[/tex3]
e o gabarito não satisfaz esse caso limite.