IME/ITA ⇒ (IME-2009) Plano Inclinado Tópico resolvido

[Jpgonçalves]

A figura apresenta um plano inclinado, sobre o qual estão dois blocos, e, em sua parte inferior, uma mola com massa
desprezível. A superfície deste plano apresenta coeficiente de atrito estático [tex3]\mu_{e}= \frac{5\sqrt{13}}{13}[/tex3]

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[tex3]\mu_{e}= \frac{5\sqrt{13}}{13}[/tex3]

e coeficiente de atrito cinético [tex3]\mu_{c}= {0,3\sqrt{3}}[/tex3]

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[tex3]\mu_{c}= {0,3\sqrt{3}}[/tex3]

. O bloco A está fixado na superfície. O bloco B possui massa de 1 kg e encontra-se solto. Sabe-se que a
superfície abaixo da mola não possui atrito e que os blocos A e B estão eletricamente carregados com, respectivamente, [tex3]+40 x 10^{4} C[/tex3]

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[tex3]+40 x 10^{4} C[/tex3]

e [tex3] \frac{-\sqrt{3}}{39}*10^{-3} C[/tex3]

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[tex3] \frac{-\sqrt{3}}{39}*10^{-3} C[/tex3]

. Desconsiderando as situações em que, ao atingir o equilíbrio, o bloco B esteja em
contato com o bloco A ou com a mola, determine:

a) as alturas máxima e mínima, em relação à referência de altura, que determinam a faixa em que é possível manter o
bloco B parado em equilíbrio;
b) a velocidade inicial máxima v com que o bloco B poderá ser lançado em direção à mola, a partir da altura 20 B h m = ,
para que, após começar a subir o plano inclinado, atinja uma posição de equilíbrio e lá permaneça.
Dados:
. aceleração da gravidade:[tex3]g = 10m/s^{2}[/tex3]

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[tex3]g = 10m/s^{2}[/tex3]

;
. constante eletrostática: [tex3]K_{0} = 9 * 10^{9} N.m^{2}/C^{2}[/tex3]

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[tex3]K_{0} = 9 * 10^{9} N.m^{2}/C^{2}[/tex3]

.
Observação: Desconsidere as dimensões dos blocos para os cálculos.

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Resposta

---

a) [tex3]h_{e} = 30 m[/tex3]

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[tex3]h_{e} = 30 m[/tex3]

ou [tex3]h_{e} = 25 m[/tex3]

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[tex3]h_{e} = 25 m[/tex3]

; b)v = [tex3]\sqrt{\frac{4700}{13}} m/s[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{4700}{13}} m/s[/tex3]

[παθμ]

Jpgonçalves, por favor, sempre tome cuidado para digitar seus enunciados corretamente. O valor que você deu para [tex3]q_2[/tex3]

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[tex3]q_2[/tex3]

(a carga do bloco B) está errado, eu vi na prova original e era pra ser [tex3]-\frac{\sqrt{3}}{39} \; \text{C}.[/tex3]

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[tex3]-\frac{\sqrt{3}}{39} \; \text{C}.[/tex3]

a) Para a altura máxima, o bloco B está na iminência de deslizar para cima. Equilíbrio de forças:

[tex3]mg \sin(\theta)+\mu_e \; mg \cos(\theta)=\frac{k_0 q_1 q_2}{d^2} \Longrightarrow \frac{10}{2}+10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{13}}{13}=\frac{12000\sqrt{3}}{13d^2} \Longrightarrow d^2=\frac{400}{3} \Longrightarrow d=\frac{20}{\sqrt{3}} \; \text{m}.[/tex3]

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[tex3]mg \sin(\theta)+\mu_e \; mg \cos(\theta)=\frac{k_0 q_1 q_2}{d^2} \Longrightarrow \frac{10}{2}+10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{13}}{13}=\frac{12000\sqrt{3}}{13d^2} \Longrightarrow d^2=\frac{400}{3} \Longrightarrow d=\frac{20}{\sqrt{3}} \; \text{m}.[/tex3]

A altura nessa ocasião é [tex3]h_b=40-d \sin(\theta)=\boxed{30 \; \text{m}}[/tex3]

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[tex3]h_b=40-d \sin(\theta)=\boxed{30 \; \text{m}}[/tex3]

Para a altura mínima, o bloco B está na iminência de deslizar para baixo. O equilíbrio de forças fica:

[tex3]mg \sin(\theta)= \mu_e mg \cos(\theta) + \frac{k_0 q_1 q_2}{d^2}.[/tex3]

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[tex3]mg \sin(\theta)= \mu_e mg \cos(\theta) + \frac{k_0 q_1 q_2}{d^2}.[/tex3]

É a mesma coisa do anterior, mas com o primeiro sinal de + trocado por um -. Fica [tex3]d^2=300 \Longrightarrow d=10\sqrt{3} \; \text{m}.[/tex3]

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[tex3]d^2=300 \Longrightarrow d=10\sqrt{3} \; \text{m}.[/tex3]

[tex3]h_b=40-d \sin(\theta)= \boxed{25 \; \text{m}}[/tex3]

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[tex3]h_b=40-d \sin(\theta)= \boxed{25 \; \text{m}}[/tex3]

b) Se ele foi lançado com a maior velocidade possível, a posição final é a mais alta possível. Por isso, ele para na altura de [tex3]30 \; \text{m}.[/tex3]

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[tex3]30 \; \text{m}.[/tex3]

Se [tex3]d[/tex3]

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[tex3]d[/tex3]

é a distância entre os blocos, a energia potencial eletrostática é [tex3]U=-\frac{k_0 q_1 q_2}{d}[/tex3]

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[tex3]U=-\frac{k_0 q_1 q_2}{d}[/tex3]

(com as cargas em módulo)

Aí, a energia potencial eletrostática inicial é [tex3]-\frac{900}{13},[/tex3]

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[tex3]-\frac{900}{13},[/tex3]

e a final é [tex3]\frac{-1800}{13}.[/tex3]

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[tex3]\frac{-1800}{13}.[/tex3]

A distância inicial do bloco à mola é [tex3]\frac{40}{\sqrt{3}},[/tex3]

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[tex3]\frac{40}{\sqrt{3}},[/tex3]

e a final é [tex3]\frac{60}{\sqrt{3}}.[/tex3]

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[tex3]\frac{60}{\sqrt{3}}.[/tex3]

Por isso, a distância total que ele percorreu na região com atrito, que dissipa energia, é [tex3]\frac{100}{\sqrt{3}} \; \text{m}.[/tex3]

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[tex3]\frac{100}{\sqrt{3}} \; \text{m}.[/tex3]

A força de atrito cinético é [tex3] \mu_c mg \cos(\theta)=\frac{3\sqrt{3}}{2} \; \text{N},[/tex3]

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[tex3] \mu_c mg \cos(\theta)=\frac{3\sqrt{3}}{2} \; \text{N},[/tex3]

daí o trabalho resistente total realizado pelo atrito foi [tex3]\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{100}{\sqrt{3}}=150 \; \text{J}.[/tex3]

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[tex3]\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{100}{\sqrt{3}}=150 \; \text{J}.[/tex3]

Além disso, a diferença de altura entre as posições inicial e final é [tex3]\Delta h=10 \; \text{m}.[/tex3]

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[tex3]\Delta h=10 \; \text{m}.[/tex3]

A energia final é a energia inicial menos o trabalho resistente do atrito: [tex3]\frac{mv^2}{2}-\frac{900}{13}-150=-\frac{1800}{13}+mg \Delta h \Longrightarrow \frac{v^2}{2}-\frac{900}{13}-150=-\frac{1800}{13}+100 \Longrightarrow \frac{v^2}{2}=250-\frac{900}{13} \Longrightarrow \boxed{v=\sqrt{\frac{4700}{13}} \; \text{m/s}}[/tex3]

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[tex3]\frac{mv^2}{2}-\frac{900}{13}-150=-\frac{1800}{13}+mg \Delta h \Longrightarrow \frac{v^2}{2}-\frac{900}{13}-150=-\frac{1800}{13}+100 \Longrightarrow \frac{v^2}{2}=250-\frac{900}{13} \Longrightarrow \boxed{v=\sqrt{\frac{4700}{13}} \; \text{m/s}}[/tex3]

[Jpgonçalves]

Sim, agora reparei aqui. Provavelmente deve ter sido um erro de digitação que me passou desapercebido. Corrigirei. Muito obrigado, παθμ!