IME/ITA ⇒ Eletromagnetismo Tópico resolvido

[ASPIRANTE23]

Uma partícula de carga q e massa m é projetada do ponto P com velocidade 𝒗₀ em direção a uma região circular de raio R, que possui campo de indução magnética B perpendicular ao plano do papel. A linha OP forma um ângulo 𝜽 com a direção de 𝒗₀.
Determine o valor de 𝒗₀ de forma que partícula cruze o ponto O.

Resposta

---

RqB/2m csc o

[παθμ]

ASPIRANTE23, faltou o enunciado dizer que o ponto P em questão está sobre a circunferência. Caso contrário, a informação de que a linha OP forma um ângulo θ com a direção de v0 fica inútil. Vamos usar esse esboço como referência, onde a direção de v0 foi definida como horizontal:

80a80f6e-50d1-4ef2-873c-b850585cbfc4.jpg (10.94 KiB) Exibido 200 vezes

O raio da trajetória da partícula é [tex3]r=\frac{mv_0}{qB}.[/tex3]

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[tex3]r=\frac{mv_0}{qB}.[/tex3]

Além disso, para ela passar pelo ponto O, veja que o centro de curvatura deverá estar abaixo dela.

Então, tomando o ponto O como referência, o centro de curvatura da trajetória da partícula está em [tex3]x=R \cos(\theta)[/tex3]

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[tex3]x=R \cos(\theta)[/tex3]

e [tex3]y=R \sin(\theta)-r.[/tex3]

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[tex3]y=R \sin(\theta)-r.[/tex3]

Para que a partícula cruze o ponto O, ele deve estar na sua trajetória, ou seja, a distância do centro da trajetória ao ponto O deve ser o raio da trajetória.

[tex3]r^2=R^2\cos^2(\theta)+(R\sin(\theta)-r)^2=R^2\left(\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)\right)-2rR \sin(\theta)+r^2 \Longrightarrow r=\frac{R}{2\sin(\theta)}.[/tex3]

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[tex3]r^2=R^2\cos^2(\theta)+(R\sin(\theta)-r)^2=R^2\left(\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)\right)-2rR \sin(\theta)+r^2 \Longrightarrow r=\frac{R}{2\sin(\theta)}.[/tex3]

[tex3]\frac{mv_0}{qB}=\frac{R}{2} \csc(\theta) \Longrightarrow \boxed{v_0=\frac{qBR}{2m}\csc(\theta)}[/tex3]

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[tex3]\frac{mv_0}{qB}=\frac{R}{2} \csc(\theta) \Longrightarrow \boxed{v_0=\frac{qBR}{2m}\csc(\theta)}[/tex3]