IME/ITA ⇒ Eletrostática IME/ITA Tópico resolvido

[GugaSimas]

Sobre uma mesa horizontal, fixa-se um aro circular isolante. Em dois pontos diametralmente opostos desse aro, fixam-se duas cargas positivas qA e qB. No centro do aro, abandona-se uma pequena esfera de carga +q, que pode se deslocar sem atrito ao longo da região circular. No equilíbrio a esfera estaciona junto ao aro no ponto C, tal que o ângulo BÂC = [tex3]\alpha [/tex3]

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[tex3]\alpha [/tex3]

. Determine a razão qA/qB.

Resposta

---

[tex3]cotg^{3}\alpha [/tex3]

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[tex3]cotg^{3}\alpha [/tex3]

[παθμ]

5e18b580-d3d1-4e34-88c5-02a092a8a5e4.jpeg (14.76 KiB) Exibido 580 vezes

(desenhei apenas uma semi-circunferência, pois é só essa parte do aro que é relevante para o problema)

Com trigonometria simples no triângulo AOC (sendo O o centro da circunferência) obtemos [tex3]r_a=2R \cos(\alpha)[/tex3]

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[tex3]r_a=2R \cos(\alpha)[/tex3]

, e em OBC obtemos [tex3]r_b=2R \sin(\alpha)[/tex3]

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[tex3]r_b=2R \sin(\alpha)[/tex3]

.

Os módulos das forças que qA e qB exercem na carga q são, respectivamente: [tex3]F_a=\frac{k_0q_aq}{r_a^2}=\frac{k_oq_aq}{4R^2\cos^2(\alpha)},F_b=\frac{k_0q_bq}{r_b^2}=\frac{k_0q_bq}{4R^2\sin^2(\alpha)}[/tex3]

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[tex3]F_a=\frac{k_0q_aq}{r_a^2}=\frac{k_oq_aq}{4R^2\cos^2(\alpha)},F_b=\frac{k_0q_bq}{r_b^2}=\frac{k_0q_bq}{4R^2\sin^2(\alpha)}[/tex3]

.

As 3 forças que agem em q são Fa, Fb e a normal do aro. Ou seja, na direção tangencial (direção perpendicular à linha de ação da normal), só temos componentes das forças Fa e Fb agindo. Essas duas componentes estão em sentidos opostos e têm módulos, respectivamente, [tex3]F_a \sin(\alpha)[/tex3]

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[tex3]F_a \sin(\alpha)[/tex3]

e [tex3]F_b \cos(\alpha)[/tex3]

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[tex3]F_b \cos(\alpha)[/tex3]

.

Pelo balanço de forças na direção tangencial, temos, então: [tex3]F_a \sin(\alpha)=F_b \cos(\alpha)\rightarrow \frac{q_a \sin(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}=\frac{q_b \cos(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}[/tex3]

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[tex3]F_a \sin(\alpha)=F_b \cos(\alpha)\rightarrow \frac{q_a \sin(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}=\frac{q_b \cos(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}[/tex3]

Logo: [tex3]\frac{q_a}{q_b}=\frac{\cos^3(\alpha)}{\sin^3(\alpha)}=\cot^3(\alpha)[/tex3]