IME/ITA ⇒ encontro em movimento circular IME/ITA Tópico resolvido

[ratazanaazul]

Uma circunferência de raio R tem diâmetro vertical AB. sendo A o ponto mais baixo. Do ponto A lança-se um corpo, verticalmente para cima. No mesmo instante, parte de A um corpúsculo que percorre a trajetória circular em movimento uniformemente variado. Ambos os móveis se chocam em B. ponto mais elevado da trajetória do primeiro, e depois novamente em A, tendo ambos retornado. Determinar a velocidade angular inicial e a aceleração angular do segundo móvel.

Resposta

---

ω0=[tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

[tex3]\sqrt{g/R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{g/R}[/tex3]

γ= -[tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

g/2R

[παθμ]

O enunciado está mal elaborado. Para chegar nesse gabarito, nós precisamos da informação de que o segundo móvel tem velocidade nula no ponto B, tendo alcançado-o após meia volta. Sem essa informação, há infinitas soluções para [tex3]\omega_0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega_0[/tex3]

e [tex3]\alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha[/tex3]

que satisfazem a condição de que os dois móveis se encontram uma vez em B e outra vez em A. O que o enunciado quis dizer é que os dois móveis partem simultaneamente do ponto A, viajam até o ponto B no qual se encontram e simultaneamente têm uma pausa em seus movimentos, e retornam, em movimentos temporalmente simétricos aos de ida, para a posição de origem, o ponto A.

Equação de Torricelli para o primeiro móvel: [tex3]0=v_0^2+2(-g)(2R)\rightarrow v_0=2\sqrt{gR}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0=v_0^2+2(-g)(2R)\rightarrow v_0=2\sqrt{gR}[/tex3]

Para calcular o instante de tempo no qual ele atinge o ponto A, podemos usar a aceleração média: [tex3]-g=\frac{0-v_0}{t-0}\rightarrow t=2\sqrt{\frac{R}{g}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-g=\frac{0-v_0}{t-0}\rightarrow t=2\sqrt{\frac{R}{g}}[/tex3]

.

Velocidade angular do móvel 2: [tex3]\omega=\omega_0+\alpha t\rightarrow \omega_0+2\alpha \sqrt{\frac{R}{g}}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega=\omega_0+\alpha t\rightarrow \omega_0+2\alpha \sqrt{\frac{R}{g}}=0[/tex3]

E sua posição angular (sendo θ medido a partir da vertical): [tex3]\theta=\omega_0t+\alpha t^2/2\rightarrow \pi=2\omega_0 \sqrt{\frac{R}{g}}+\frac{2\alpha R}{g}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta=\omega_0t+\alpha t^2/2\rightarrow \pi=2\omega_0 \sqrt{\frac{R}{g}}+\frac{2\alpha R}{g}[/tex3]

Esse sistema de duas equações lineares em [tex3]\omega_0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega_0[/tex3]

e [tex3]\alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha[/tex3]

é resolvido, obtendo-se:

[tex3]\omega_0=\pi\sqrt{\frac{g}{R}}[/tex3] e [tex3]\alpha=-\frac{\pi}{2}\frac{g}{R}[/tex3].