Considere um trilho envergado em forma de arco de circunferência com raio igual a R instalado verticalmente, como representa a figura. No local, a aceleração da gravidade tem módulo g e a resistência do ar é desprezível. Supondo-se conhecido o ângulo θ, qual deve ser a intensidade da velocidade V0 com que se deve lançar um pequeno objeto do ponto O, o mais baixo do trilho, para que ele possa deslizar livremente saltando da extremidade A para a extremidade B, executando assim um movimento periódico?
De cara observamos que:
i) ABC é um triangulo isóceles, tal que a medida de AB pode ser expressa em função do raio R e do angunlo θ. pela lei dos cossenos temos que:
(AB)² = R² + R² - 2.R.R.cosθ <==> (AB)² = 2R² - 2R². cosθ <==> (AB)² = 2R²(1 - cosθ); obtendo enfim ==> AB = R [tex3]\sqrt[]{2(1-cosθ)}[/tex3] .
ii) Sendo Vd a velocidade de desprendimento do objeto do trilho, podemos decompo-la em Vdx e Vdy, obtendo:
Vdx = Vd . cosθ e Vdy = Vd . senθ
Agora a parte do lançamento oblíquo:
i) O tempo ''nescessario" para que o objeto percorra toda a reta AB será o dobro do tempo que ele leva para chegar ao ponto mais alto de sua trajetória, onde a velocidade é zero, ou seja:
0 = Vdy - gt <==> gt = Vd . senθ <==> t = [tex3]\frac{Vd . senθ}{g}[/tex3] ; logo 2t = 2 [tex3]\frac{Vd . senθ}{g}[/tex3]
ii) Sendo distancia igual a velocidade pelo tempo: AB = Vdx . 2t <==> R [tex3]\sqrt[]{2(1-cosθ)}[/tex3] = Vd . cosθ . 2 [tex3]\frac{Vd . senθ}{g}[/tex3]
encontramos finalmente Vd² = [tex3]\frac{gR\sqrt{2(1-cosθ)}}{2.senθ.cosθ}[/tex3]
Agora é só fazer a parde de conservação de energia
Em0 = Em1
[tex3]\frac{mV0²}{2} = \frac{mVd²}{2}[/tex3] + mgR(1+cosθ), cortando os m's e multiplicando por 2,
V0² = Vd² + 2gR(1+cosθ) substituindo,
V0² = [tex3]\frac{gR\sqrt{2(1-cosθ)}}{2.senθ.cosθ}[/tex3] + 2gR(1+cosθ)
V0² = gR[[tex3]\frac{[tex3]\sqrt[]{2(1-cosθ)}[/tex3] }{2.senθ.cosθ}[/tex3] + 2(1 + cosθ)]
Resposta
V0 = [tex3]\sqrt{gR[[tex3]\frac{[tex3]\sqrt[]{2(1-cosθ)}[/tex3] }{2.senθ.cosθ}[/tex3] + 2(1 + cosθ)]}[/tex3]