IME/ITA ⇒ (Simulado ITA) Lei de Coulomb Tópico resolvido

[Santino]

Três cargas puntiformes +Q1, +Q2 e +Q3 encontram-se fixas e alinhadas num plano horizontal sem atrito, como no esquema abaixo. Sabe-se que qualquer carga +q permanece em equilíbrio quando abandonada nesse plano horizontal, num certo ponto P, localizado a uma distancia D de carga -Q3.

A partir dessas informações, com base na lei de Coulomb, expresse uma relação entre Q1 e Q3

17.png (42.01 KiB) Exibido 970 vezes

a) [tex3](\frac{Q1}{4Q3})^{\frac{2}{3}}+ (\frac{Q2}{4Q3})^{\frac{2}{3}} = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\frac{Q1}{4Q3})^{\frac{2}{3}}+ (\frac{Q2}{4Q3})^{\frac{2}{3}} = 1[/tex3]

...

Resposta

---

a

minha dúvida é a seguinte...como relaciona isso com a tigonometria ?

[LostWalker]

Desenho e Concessões

---

Eu demorei um pouco para encontrar a resposta, mas como você deixou o gab, achei uma ideia bem direta para a resposta. Vamos iniciar posicionando as 3 cargas e desenhando as forças:

Estrostática.png (34.75 KiB) Exibido 954 vezes

A Força Elétrica da carga causada por [tex3]-Q_3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-Q_3[/tex3]

(Azul) precisa ser igual a Força Elétrica resultante (Vermelho) das cargas [tex3]Q_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Q_1[/tex3]

e [tex3]Q_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Q_2[/tex3]

.

Como essa figura se trata de um círculo de raio [tex3]D[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D[/tex3]

, cuja o diâmetro se posiciona de [tex3]Q_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Q_1[/tex3]

a [tex3]Q_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Q_2[/tex3]

, o ponto [tex3]P[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P[/tex3]

forma o ângulo de [tex3]90^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]90^\circ[/tex3]

, logo nós podemos visualizar o triângulo das forças da seguinte forma:

Estrostática 2.png (37.02 KiB) Exibido 954 vezes

Numericamente, os valores são os mesmos.




Trigonometria

---

Vamos arbitrariamente escolher a força [tex3]F_{qQ_1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_{qQ_1}[/tex3]

. Tomando o ângulo verde [tex3]\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta[/tex3]

, sabemos que:

[tex3]\cos(\theta)=\frac{F_{qQ_1}}{F_{qQ_3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(\theta)=\frac{F_{qQ_1}}{F_{qQ_3}}[/tex3]

[tex3]\cos(\theta)=\frac{\frac{kqQ_1}{x^2}}{\frac{kqQ_3}{D^2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(\theta)=\frac{\frac{kqQ_1}{x^2}}{\frac{kqQ_3}{D^2}}[/tex3]

[tex3]\cos(\theta)=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}kq}}Q_1}{x^2}\cdot\frac{D^2}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}kq}}Q_3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(\theta)=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}kq}}Q_1}{x^2}\cdot\frac{D^2}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}kq}}Q_3}[/tex3]

Olha agora o triângulo maior, podemos dizer que [tex3]x=2D\cdot\cos(\theta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=2D\cdot\cos(\theta)[/tex3]

:

[tex3]\cos(\theta)=\frac{Q_1}{Q_3}\cdot\frac{D^2}{\color{PineGreen}x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(\theta)=\frac{Q_1}{Q_3}\cdot\frac{D^2}{\color{PineGreen}x^2}[/tex3]

[tex3]\cos(\theta)=\frac{Q_1}{Q_3}\cdot\frac{D^2}{\color{PineGreen}\[2D\cdot\cos(\theta)\]^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(\theta)=\frac{Q_1}{Q_3}\cdot\frac{D^2}{\color{PineGreen}\[2D\cdot\cos(\theta)\]^2}[/tex3]

[tex3]\cos^3(\theta)=\frac{Q_1}{Q_3}\cdot\frac{\color{Red}\cancel{\color{Black}D^2}}{4\color{Red}\cancel{\color{Black}D^2}}[/tex3]

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[tex3]\cos^3(\theta)=\frac{Q_1}{Q_3}\cdot\frac{\color{Red}\cancel{\color{Black}D^2}}{4\color{Red}\cancel{\color{Black}D^2}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\cos(\theta)={\(\frac{Q_1}{4Q_3}\)^{\frac13}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\cos(\theta)={\(\frac{Q_1}{4Q_3}\)^{\frac13}}}[/tex3]

Analogamente e Conclusão

---

Analogamente, podemos dizer que:

[tex3]\boxed{\sen(\theta)={\(\frac{Q_2}{4Q_3}\)^{\frac13}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\sen(\theta)={\(\frac{Q_2}{4Q_3}\)^{\frac13}}}[/tex3]

E pela Lei Fundamental da Trigonometria:

[tex3]\cos^2(\theta)+\sen^2(\theta)=1[/tex3]

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[tex3]\cos^2(\theta)+\sen^2(\theta)=1[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\(\frac{Q_1}{4Q_3}\)^{\frac23}+\(\frac{Q_2}{4Q_3}\)^{\frac23}=1~~~~\mbox{d.q.d.}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\(\frac{Q_1}{4Q_3}\)^{\frac23}+\(\frac{Q_2}{4Q_3}\)^{\frac23}=1~~~~\mbox{d.q.d.}}[/tex3]

[Santino]

Desenho e Concessões

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Eu demorei um pouco para encontrar a resposta, mas como você deixou o gab, achei uma ideia bem direta para a resposta. Vamos iniciar posicionando as 3 cargas e desenhando as forças:

Estrostática.png

A Força Elétrica da carga causada por [tex3]-Q_3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-Q_3[/tex3]

(Azul) precisa ser igual a Força Elétrica resultante (Vermelho) das cargas [tex3]Q_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Q_1[/tex3]

e [tex3]Q_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Q_2[/tex3]

.

Como essa figura se trata de um círculo de raio [tex3]D[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D[/tex3]

, cuja o diâmetro se posiciona de [tex3]Q_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Q_1[/tex3]

a [tex3]Q_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Q_2[/tex3]

, o ponto [tex3]P[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P[/tex3]

forma o ângulo de [tex3]90^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]90^\circ[/tex3]

, logo nós podemos visualizar o triângulo das forças da seguinte forma:

Estrostática 2.png

Numericamente, os valores são os mesmos.




Trigonometria

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Vamos arbitrariamente escolher a força [tex3]F_{qQ_1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_{qQ_1}[/tex3]

. Tomando o ângulo verde [tex3]\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta[/tex3]

, sabemos que:

[tex3]\cos(\theta)=\frac{F_{qQ_1}}{F_{qQ_3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(\theta)=\frac{F_{qQ_1}}{F_{qQ_3}}[/tex3]

[tex3]\cos(\theta)=\frac{\frac{kqQ_1}{x^2}}{\frac{kqQ_3}{D^2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(\theta)=\frac{\frac{kqQ_1}{x^2}}{\frac{kqQ_3}{D^2}}[/tex3]

[tex3]\cos(\theta)=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}kq}}Q_1}{x^2}\cdot\frac{D^2}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}kq}}Q_3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(\theta)=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}kq}}Q_1}{x^2}\cdot\frac{D^2}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}kq}}Q_3}[/tex3]

Olha agora o triângulo maior, podemos dizer que [tex3]x=2D\cdot\cos(\theta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=2D\cdot\cos(\theta)[/tex3]

:

[tex3]\cos(\theta)=\frac{Q_1}{Q_3}\cdot\frac{D^2}{\color{PineGreen}x^2}[/tex3]

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[tex3]\cos(\theta)=\frac{Q_1}{Q_3}\cdot\frac{D^2}{\color{PineGreen}x^2}[/tex3]

[tex3]\cos(\theta)=\frac{Q_1}{Q_3}\cdot\frac{D^2}{\color{PineGreen}\[2D\cdot\cos(\theta)\]^2}[/tex3]

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[tex3]\cos(\theta)=\frac{Q_1}{Q_3}\cdot\frac{D^2}{\color{PineGreen}\[2D\cdot\cos(\theta)\]^2}[/tex3]

[tex3]\cos^3(\theta)=\frac{Q_1}{Q_3}\cdot\frac{\color{Red}\cancel{\color{Black}D^2}}{4\color{Red}\cancel{\color{Black}D^2}}[/tex3]

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[tex3]\cos^3(\theta)=\frac{Q_1}{Q_3}\cdot\frac{\color{Red}\cancel{\color{Black}D^2}}{4\color{Red}\cancel{\color{Black}D^2}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\cos(\theta)={\(\frac{Q_1}{4Q_3}\)^{\frac13}}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\cos(\theta)={\(\frac{Q_1}{4Q_3}\)^{\frac13}}}[/tex3]

Analogamente e Conclusão

---

Analogamente, podemos dizer que:

[tex3]\boxed{\sen(\theta)={\(\frac{Q_2}{4Q_3}\)^{\frac13}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\sen(\theta)={\(\frac{Q_2}{4Q_3}\)^{\frac13}}}[/tex3]

E pela Lei Fundamental da Trigonometria:

[tex3]\cos^2(\theta)+\sen^2(\theta)=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos^2(\theta)+\sen^2(\theta)=1[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\(\frac{Q_1}{4Q_3}\)^{\frac23}+\(\frac{Q_2}{4Q_3}\)^{\frac23}=1~~~~\mbox{d.q.d.}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\(\frac{Q_1}{4Q_3}\)^{\frac23}+\(\frac{Q_2}{4Q_3}\)^{\frac23}=1~~~~\mbox{d.q.d.}}[/tex3]

Cara que resolução bonita de se ver! Muito obrigado, de vdd. Essa matéria me desanima um pouco pq eu sempre me confundo com os vetores, aí fico meio assim se saber ao certo se irei passar na prova da AFA. Vamos se eu não tentar nunca vou saber, né ? Enfim, muito boa resolução !

[LostWalker]

Santino, amigo, se te anima um pouco, estou a uma semana tentando resolver uma lista de 72 questões desse assunto, estou na 50 e alguma coisa, e minha média está de acertar apenas metades das perguntas. Mas segue firme, revisar provas da que se quer entrar sempre é produtivo.

nota: nem essa questão aí eu ia tirar, só cheguei na resposta com a pista do gab.