IME/ITA ⇒ (Apostila IME/ITA) Dinâmica Tópico resolvido

[careca]

Uma cunha móvel de massa M tem sua superfície inclinada de um ângulo θ em relação ao solo horizontal. Um bloco de massa m está apoiado sobre sua superfície. Assinale a força F que deve ser aplicada horizontalmente sobre a cunha para que o bloco não deslize em relação a ela. Despreze quaisquer tipos de atrito.

Resposta

---

Gabarito = (M+m).g.[tex3]tg\theta [/tex3]

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[tex3]tg\theta [/tex3]

________________________

Minha resposta bateu diferente, por isso eu gostaria de saber se a questão está errada '-'

Como o bloco não desliza sobre a cunha, esses corpos possuem a mesma aceleração horizontal. Além disso, a aceleração vertical do bloco deverá ser nula para que ele não desça.

Como F é uma força externa:

[tex3]F = (M+m)a_x[/tex3]

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[tex3]F = (M+m)a_x[/tex3]

Para o equilíbrio vertical da massa m

[tex3]N.cosθ =mg --> N = \frac{mg}{cosθ}[/tex3]

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[tex3]N.cosθ =mg --> N = \frac{mg}{cosθ}[/tex3]

No referencial do bloco de massa m:

[tex3]m.a_x = F - N.senθ=(M+m)a_x-mg.tgθ[/tex3]

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[tex3]m.a_x = F - N.senθ=(M+m)a_x-mg.tgθ[/tex3]

então: [tex3]M.a_x=mg.tgθ --> a_x = \frac{m}{M}.g.tgθ[/tex3]

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[tex3]M.a_x=mg.tgθ --> a_x = \frac{m}{M}.g.tgθ[/tex3]

Daí: [tex3]F = (M+m).a_x = \frac{m}{M}.(M+m).g.tgθ[/tex3]

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[tex3]F = (M+m).a_x = \frac{m}{M}.(M+m).g.tgθ[/tex3]

[LostWalker]

Sobre a Discrepância

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O erro da sua conta está aqui:

[tex3]m.a_x = F - N.senθ=(M+m)a_x-mg.tgθ[/tex3]

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[tex3]m.a_x = F - N.senθ=(M+m)a_x-mg.tgθ[/tex3]

A Força [tex3]F[/tex3]

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[tex3]F[/tex3]

não atua em [tex3]m[/tex3]

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[tex3]m[/tex3]

. Essa questão é clássica, coincidentemente resolvi ela (de novo) semana passada. A Força [tex3]F[/tex3]

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[tex3]F[/tex3]

atua em [tex3]M[/tex3]

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[tex3]M[/tex3]

e através da normal [tex3]N[/tex3]

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[tex3]N[/tex3]

ela "passa" para [tex3]m[/tex3]

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[tex3]m[/tex3]

.

[tex3]\color{Red}\mbox{OBS:}[/tex3]

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[tex3]\color{Red}\mbox{OBS:}[/tex3]

no macro, você pode sim dizer que [tex3]F=(M+m)a_x[/tex3]

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[tex3]F=(M+m)a_x[/tex3]

, isso continua correto.


Vou aplicar a correção da sua conta e terminar:

[tex3]m.a_x = N\cdot\sen(\theta)\\m.a_x = \frac{mg}{\cos(\theta)}\cdot\sen(\theta)\\a_x=g\tg(\theta)[/tex3]

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[tex3]m.a_x = N\cdot\sen(\theta)\\m.a_x = \frac{mg}{\cos(\theta)}\cdot\sen(\theta)\\a_x=g\tg(\theta)[/tex3]

Substituindo em [tex3]F[/tex3]

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[tex3]F[/tex3]

, temos:

[tex3]F=(M+m)g\tg(\theta)[/tex3]

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[tex3]F=(M+m)g\tg(\theta)[/tex3]

Sugestão

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Isso não implica no erro, mas sobre essa parte:

[tex3]N\cdot\sen(\theta)=ma_x\\N\cdot\cos(\theta)=mg[/tex3]

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[tex3]N\cdot\sen(\theta)=ma_x\\N\cdot\cos(\theta)=mg[/tex3]

Eu prefiro dividir um pelo outro, aí já temos:

[tex3]\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}N}}\cdot\sen(\theta)}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}N}}\cdot\cos(\theta)}=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}m}}a_x}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}m}}g}[/tex3]

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[tex3]\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}N}}\cdot\sen(\theta)}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}N}}\cdot\cos(\theta)}=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}m}}a_x}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}m}}g}[/tex3]

[tex3]g\tg(\theta)=a_x[/tex3]

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[tex3]g\tg(\theta)=a_x[/tex3]

[careca]

Obrigado LostWalker!!!