Simplicidades
A aparência desse enunciado assusta, porem, a resolução acaba sendo na verdade bem simples...
tirando o fato que terminei minhas contas e não bateu com o gab, anyway, devo reencontrar o erro enquanto escrevo aqui.
Ao invés de calcular as várias forças de maneira junta, vamos apenas calcular algumas por vez e somar todas vetorialmente no final. No mais, por capricho das contas, eu vou manter que o lado do octaedro é igual a [tex3]l[/tex3]
.
No mais, vamos primeiro calcular a força gerada pelas cargas [tex3]4\,\mu C[/tex3]
, depois [tex3]2\,\mu C[/tex3]
próximos e por último, a carga isolada lá em baixo.
Distâncias também é algo que calcularei só depois.
Cargas [tex3]4\,\mu C[/tex3]
Primeiro, esqueça que estamos num plano [tex3]\mathbb{R}^3[/tex3]
, vamos visualizar isso em [tex3]\mathbb{R}^2[/tex3]
como na figura a abaixo:
- Eletroestática 1.png (12.7 KiB) Exibido 856 vezes
Tomando que o lado do triângulo é [tex3]l[/tex3]
, e o módulo das cargas são iguais, sabemos que as forças também são iguais. De modo bem simples, também podemos calcular a resultante:
[tex3]F=\frac{k\cdot4q\cdot1q}{l^2}=\frac{4kq^2}{l^2}[/tex3]
Ah, vamos também adiantar e inserir uma constante okay? Vamos dizer que [tex3]\boxed{a=\frac{kq^2}{l^2}}[/tex3]
, logo o valor acima é [tex3]F=4a[/tex3]
. Voltando a conta, vamos agora calcular a resultante:
[tex3]{F_r}^2=F^2+F^2+2FF\cos(120^\circ)\\{F_r}^2=2F^2-2F^2\cos(60^\circ)\\{F_r}^2=2F^2\(1-\frac{1}{2}\)\\{F_r}^2={\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}F^2\cdot\frac{1}{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}\\\boxed{F_r=F}[/tex3]
Nota: como se trata de um triângulo equilátero, isso já era esperado, mas eu quis demonstrar.
Temos então que a força resultante
é paralela ao eixo das cargas [tex3]+4\,\mu C[/tex3].
Cargas [tex3]2\,\mu C[/tex3] Superiores
Mantendo a mesma visualiza da anterior, podemos dizer que o desenho seria esse:
- Eletroestática 2.png (12.22 KiB) Exibido 856 vezes
E de semelhante modo as contas anteriores, podemos dizer que:
[tex3]F_{r'}=F=\frac{2kq^2}{l^2}=2a[/tex3]
E também que essa força é
é paralela ao eixo das cargas [tex3]+2\,\mu C[/tex3]. Entretanto, esse eixo também é paralelo ao plano da reta com o eixo das cargas [tex3]+4\,\mu C[/tex3]
.
Logo, a Resultante Horizontal pode ser dada como:
[tex3]F_H=F_r-F_{r'}\\F_H=4a-2a\\{\color{PineGreen}\boxed{F_H=2a}}[/tex3]
Carga [tex3]2\,\mu C[/tex3] Isolada
Vamos começar com a distância. Note o seguinte quadrado:
- Eletroestática 3.png (80.54 KiB) Exibido 856 vezes
É bem intuitivo visualiza-lo, mas lembre-se que estamos num octaedro regular, logo, a figura abaixo também é um quadrado:
- Eletroestática 4.png (80.81 KiB) Exibido 856 vezes
Veja que a distância das cargas que estamos procurando é justamente a diagonal do quadrado, e esse quadrado tem lado [tex3]l[/tex3]
, logo a distância é [tex3]l\sqrt{2}[/tex3]
.
A força das duas irá gerar uma resultante vertical, e o módulo nem irá importar, mas vamos considerá-lo. Bem, seguindo a conta:
[tex3]F_V=F=\frac{2kq^2}{{\(l\sqrt2\)}^2}=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}kq^2}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}l^2}=a[/tex3]
Resultante
Bem, temos uma força horizontal, uma vertical, logo, podemos simplesmente aplicar pitágoras:
[tex3]{F_R}^2={F_H}^2+{F_V}^2\\{F_R}^2={(2a)}^2+a^2\\{F_R}^2=5a^2\\F_R=a\sqrt{5}[/tex3]
Bem, substituindo [tex3]a[/tex3]
:
[tex3]F_R={\color{PineGreen}a}\sqrt{5}[/tex3]
[tex3]F_R={\color{PineGreen}\frac{kq^2}{l^2}}\sqrt{5}[/tex3]
[tex3]F_R=\frac{{\color{Red}k}{\color{Purple}q}^2}{{\color{Brown}l}^2}\sqrt{5}[/tex3]
[tex3]F_R=\frac{{\color{Red}9\cdot10^9}\cdot{({\color{Purple}10^{-6}})}^2}{{\color{Brown}{(\sqrt{2}})}^2}\sqrt{5}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{F_R=\frac{9\sqrt{5}}{2}\cdot10^{-3}N}[/tex3]
Nota: meu notebook deu uma travada monstra, então depois de 10 min consegui enviar a resposta que eu estava quase acabando, então terminei de edita-la agorinha que tudo voltou ao normal.
Nota 2: O filme da citação que você usa é MUITO bom :v