IME/ITA

10. Dois blocos de massas 𝑚1 e 𝑚2 estão conectados a molas
inicialmente relaxadas de constantes elásticas 𝑘1 e 𝑘2. O
coeficiente de atrito estático entre os blocos vale 𝜇. Sabendo que
𝑘1𝑚2 < 𝑘2𝑚1, calcule a máxima amplitude com que o sistema
pode oscilar sem que haja deslizamento relativo entre 𝑚1 e 𝑚2.
Considere o chão liso.

Resposta

10. 𝑥𝑚𝑎𝑥 =𝑚2(𝑚1+𝑚2)𝜇𝑔/𝑘2𝑚1−𝑘1𝑚2

Mensagem não lida por **παθμ** » 24 Abr 2024, 22:21

gabrielmacc,

Se o sistema é deslocado de [tex3]x[/tex3] da posição de equilíbrio, a força resultante nele é [tex3](k_1+k_2)x,[/tex3] daí que a aceleração é [tex3]a=\frac{(k_1+k_2)x}{m_1+m_2},[/tex3] no sentido oposto ao do deslocamento (suponha, por exemplo, que o deslocamento foi para a direita).

Força resultante no corpo 2: [tex3]F_2=m_2a=\frac{m_2(k_1+k_2)x}{m_1+m_2}[/tex3] para a esquerda. Isso é a soma da força da mola 2, [tex3]k_2x,[/tex3] com a força de atrito, [tex3]f.[/tex3] (arbitrando o sentido de f como para a esquerda)

[tex3]f+k_2x=F_2 \Longrightarrow f=\frac{m_2 k_1 - m_1 k_2}{m_1+m_2}x.[/tex3]

Como [tex3]m_2k_1< m_1k_2,[/tex3] a expressão acima é negativa, o que simplesmente significa que f na verdade está para a direita (no geral, f terá o mesmo sentido do deslocamento, x). Então redefinindo "f" para o seu módulo, temos [tex3]f=\frac{m_1k_2-m_2k_1}{m_1+m_2}x.[/tex3]

A condição de não deslizamento é [tex3]f \leq \mu N= \mu m_2 g[/tex3] em todos os momentos, então a amplitude máxima satisfaz:

[tex3]\frac{m_1k_2 - m_2 k_1}{m_1+m_2}x_{max}=\mu m_2 g \Longrightarrow \boxed{x_{max}=\frac{\mu m_2(m_1+m_2)g}{m_1k_2-m_2k_1}}[/tex3]

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