IME/ITA ⇒ Entropia Tópico resolvido

[ASPIRANTE23]

N corpos de temperaturas 1°, 2°C, ..., N°C e capacidades caloríficas 1J, 2 J, ..., N J entram em contato. Seja 𝑓(𝑁) = 1¹ ⋅ 2² ⋅ 3³ ⋅ 4⁴ … ⋅ 𝑁ᴺ. Calcule a variação de entropia.

Resposta

---

N(N+1)/2* Ln 2N+1/3 - Ln f(N)

Se alguém puder ajudar...

[παθμ]

ASPIRANTE23, as temperaturas deveriam ser 1K, 2K, ... N K, e não graus celsius.

A temperatura final é a média das temperaturas ponderada pelas capacidades térmicas, ou seja: [tex3]T=\frac{1^2+2^2+...+N^2}{1+2+...+N}=\frac{N(N+1)(2N+1)/6)}{N(N+1)/2}=\frac{2N+1}{3}.[/tex3]

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[tex3]T=\frac{1^2+2^2+...+N^2}{1+2+...+N}=\frac{N(N+1)(2N+1)/6)}{N(N+1)/2}=\frac{2N+1}{3}.[/tex3]

[tex3]\Delta S=\sum_{i=1}^{N}C_i\ln\left(\frac{T}{T_i}\right)=\sum_{i=1}^{N}i\left(\ln\left(\frac{2N+1}{3}\right)-\ln(i)\right)=\ln\left(\frac{2N+1}{3}\right)\sum_{i=1}^{N}i-\sum_{i=1}^{N}i \ln(i).[/tex3]

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[tex3]\Delta S=\sum_{i=1}^{N}C_i\ln\left(\frac{T}{T_i}\right)=\sum_{i=1}^{N}i\left(\ln\left(\frac{2N+1}{3}\right)-\ln(i)\right)=\ln\left(\frac{2N+1}{3}\right)\sum_{i=1}^{N}i-\sum_{i=1}^{N}i \ln(i).[/tex3]

Veja que [tex3]\sum_{i=1}^{N}i \ln(i)=\ln(1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot ... \cdot N^N)=\ln\left(f(N)\right),[/tex3]

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[tex3]\sum_{i=1}^{N}i \ln(i)=\ln(1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot ... \cdot N^N)=\ln\left(f(N)\right),[/tex3]

então:

[tex3]\boxed{\Delta S=\frac{N(N+1)}{2}\ln\left(\frac{2N+1}{3}\right)-\ln\left(f(N)\right)}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\Delta S=\frac{N(N+1)}{2}\ln\left(\frac{2N+1}{3}\right)-\ln\left(f(N)\right)}[/tex3]