IME/ITA ⇒ Irodov 2.28 Tópico resolvido

[Picolino]

Enunciado:
Dois recipientes 1 e 2, termicamente isolados, são preenchidos com are conectados por um curto tubo equipado com uma válvula. Os volumes dos recipientes, as pressões e as temperaturas do ar dentro deles são conhecidas (V1, p1, T1 e V2, p2, T2). Encontre a temperatura e a pressão após a abertura da válvula.

Respostas:

Resposta

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Tf= T1T2(p1 + p2)/p1V1T2 + p2V2T1 e pf = p1V1 + p2V2/V1+V2

Pessoal travei numa parte da questão, segue a dúvida.

Porquê as temperaturas são diferentes em cada um dos recipientes, os gases vão trocar calor, logo a transformação não é adiabãtica, embora a variação da energia total seja 0. A minha ideia foi "forçar" uma transformação adiabática, quebrando a transformação sofrida pelos gases em duas:
i) tranformação isométrica de T1 à Tf, em que Tf é a temperatura estabelecida no equilíbrio

p1Tf/T1 = T' e p2Tf/T2 = p'' p' e p'' são pressões intermediárias.

ii) tranformação isotérmica de p1 à pf e p2 à pf, usando com artifício um volume V', em que V' é o volume ocupado pela expanção do gás de maior pressão ( supuz p2 > p1).

p'V1 = pf(V1 - V') e p''V2 = pf(V2 + V')

Montando um sistema de equações e resolvendo-o tem-se que:

Tf = pfT1T2(V1+V2)/p1V1T2+p2V2T1

Até aqui eu sei que tá certo, pq se eu substituir o valor da pressão fornecido pela resposta dá o valor correto da temperatura. Mas eu travei, não consigo sair do lugar. Tentei usar pV^n na tranformação (ii), mas no final Tf e pf se cancelam

desde já, obrigado.

[παθμ]

Picolino,

O volume total do sistema não se altera, logo o trabalho realizado pelo sistema é zero. O sistema é termicamente isolado do ambiente, então também não há troca de calor. Logo, a variação de energia interna do sistema é zero. As energias internas inicial e final são iguais. Basta escrever essa equação.

Como os gases dos dois lados são da mesma espécie, temos [tex3]U_i \propto n_iT_i,[/tex3] e, sendo [tex3]T[/tex3] a temperatura final do sistema e [tex3]n=n_1+n_2:[/tex3]

[tex3]n_1T_1+n_2T_2=nT \Longrightarrow \frac{P_1V_1}{R}+\frac{P_2V_2}{R}=\left(\frac{P_1V_1}{RT_1}+\frac{P_2V_2}{RT_2}\right)T \Longrightarrow \boxed{T=\frac{T_1T_2(P_1V_1+P_2V_2)}{T_2P_1V_1+T_1P_2V_2}}[/tex3]

Agora basta usar [tex3]PV=nRT[/tex3] no sistema final.

[tex3]P(V_1+V_2)=(n_1+n_2)RT \Longrightarrow \boxed{P=\frac{P_1V_1+P_2V_2}{V_1+V_2}}[/tex3]