IME/ITA ⇒ OBF - Conservação de Energia. Tópico resolvido

[Picolino]

Pessoal essa questão já foi resolvida no fórum, mas foi feita por Frcp. Mas acredito que seja possível fazer por lanmento oblíquo também. O que acontece é que minha resposta não bate com o gabarito. Enunciado =>

Considere um trilho envergado em forma de arco de circunferência com raio igual a R instalado verticalmente, como representa a figura. No local, a aceleração da gravidade tem módulo g e a resistência do ar é desprezível. Supondo-se conhecido o ângulo θ, qual deve ser a intensidade da velocidade V0 com que se deve lançar um pequeno objeto do ponto O, o mais baixo do trilho, para que ele possa deslizar livremente saltando da extremidade A para a extremidade B, executando assim um movimento periódico?

De cara observamos que:

i) ABC é um triangulo isóceles, tal que a medida de AB pode ser expressa em função do raio R e do angunlo θ. pela lei dos cossenos temos que:
(AB)² = R² + R² - 2.R.R.cosθ <==> (AB)² = 2R² - 2R². cosθ <==> (AB)² = 2R²(1 - cosθ); obtendo enfim ==> AB = R [tex3]\sqrt[]{2(1-cosθ)}[/tex3]

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[tex3]\sqrt[]{2(1-cosθ)}[/tex3]

.

ii) Sendo Vd a velocidade de desprendimento do objeto do trilho, podemos decompo-la em Vdx e Vdy, obtendo:
Vdx = Vd . cosθ e Vdy = Vd . senθ

Agora a parte do lançamento oblíquo:

i) O tempo ''nescessario" para que o objeto percorra toda a reta AB será o dobro do tempo que ele leva para chegar ao ponto mais alto de sua trajetória, onde a velocidade é zero, ou seja:
0 = Vdy - gt <==> gt = Vd . senθ <==> t = [tex3]\frac{Vd . senθ}{g}[/tex3]

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[tex3]\frac{Vd . senθ}{g}[/tex3]

; logo 2t = 2 [tex3]\frac{Vd . senθ}{g}[/tex3]

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[tex3]\frac{Vd . senθ}{g}[/tex3]

ii) Sendo distancia igual a velocidade pelo tempo: AB = Vdx . 2t <==> R [tex3]\sqrt[]{2(1-cosθ)}[/tex3]

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[tex3]\sqrt[]{2(1-cosθ)}[/tex3]

= Vd . cosθ . 2 [tex3]\frac{Vd . senθ}{g}[/tex3]

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[tex3]\frac{Vd . senθ}{g}[/tex3]

encontramos finalmente Vd² = [tex3]\frac{gR\sqrt{2(1-cosθ)}}{2.senθ.cosθ}[/tex3]

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[tex3]\frac{gR\sqrt{2(1-cosθ)}}{2.senθ.cosθ}[/tex3]

Agora é só fazer a parde de conservação de energia

Em0 = Em1
[tex3]\frac{mV0²}{2} = \frac{mVd²}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{mV0²}{2} = \frac{mVd²}{2}[/tex3]

+ mgR(1+cosθ), cortando os m's e multiplicando por 2,
V0² = Vd² + 2gR(1+cosθ) substituindo,
V0² = [tex3]\frac{gR\sqrt{2(1-cosθ)}}{2.senθ.cosθ}[/tex3]

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[tex3]\frac{gR\sqrt{2(1-cosθ)}}{2.senθ.cosθ}[/tex3]

+ 2gR(1+cosθ)
V0² = gR[[tex3]\frac{[tex3]\sqrt[]{2(1-cosθ)}[/tex3]

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[tex3]\frac{[tex3]\sqrt[]{2(1-cosθ)}[/tex3]

}{2.senθ.cosθ}[/tex3] + 2(1 + cosθ)]

Resposta

---

V0 = [tex3]\sqrt{gR[[tex3]\frac{[tex3]\sqrt[]{2(1-cosθ)}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{gR[[tex3]\frac{[tex3]\sqrt[]{2(1-cosθ)}[/tex3]

}{2.senθ.cosθ}[/tex3] + 2(1 + cosθ)]}[/tex3]

Alguem sabe me dizer onde errei? Infelizmente nn tenho a imagem.

[LostWalker]

Erro na Conta

---

Eu precisei ir atrás da imagem para ter uma ideia melhor, encontrei essa:

Questão.jpg (15.41 KiB) Exibido 986 vezes

Após fazer umas contas, encontrei o erro na seguinte parte:

[tex3](AB)^2 = R^2 + R^2 - 2\cdot R\cdot R\cdot\cos({\color{Red}2}\theta)[/tex3]

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[tex3](AB)^2 = R^2 + R^2 - 2\cdot R\cdot R\cdot\cos({\color{Red}2}\theta)[/tex3]

Assim, o valor de [tex3](AB)[/tex3]

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[tex3](AB)[/tex3]

resulta em:

[tex3](AB)^2 = R^2 + R^2 - 2\cdot R\cdot R\cdot\cos({\color{Red}2}\theta)[/tex3]

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[tex3](AB)^2 = R^2 + R^2 - 2\cdot R\cdot R\cdot\cos({\color{Red}2}\theta)[/tex3]

[tex3](AB)^2 = 2R^2 - 2R^2\cdot\cos(2\theta)[/tex3]

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[tex3](AB)^2 = 2R^2 - 2R^2\cdot\cos(2\theta)[/tex3]

[tex3](AB)^2 = 2R^2\[1 -{\color{PineGreen}\cos(2\theta)}\][/tex3]

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[tex3](AB)^2 = 2R^2\[1 -{\color{PineGreen}\cos(2\theta)}\][/tex3]

nota: transformação de arco duplo

[tex3](AB)^2 = 2R^2\[{\color{Red}\cancel{\color{Black}1}} -{\color{PineGreen}\({\color{Red}\cancel{\color{Green}1}}-2\sen^2(\theta)\)}\][/tex3]

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[tex3](AB)^2 = 2R^2\[{\color{Red}\cancel{\color{Black}1}} -{\color{PineGreen}\({\color{Red}\cancel{\color{Green}1}}-2\sen^2(\theta)\)}\][/tex3]

[tex3](AB)^2=4R^2\sen^2(\theta)[/tex3]

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[tex3](AB)^2=4R^2\sen^2(\theta)[/tex3]

[tex3]\boxed{(AB)=2R\sen(\theta)}[/tex3]

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[tex3]\boxed{(AB)=2R\sen(\theta)}[/tex3]

Conclusão

---

O resto de desenvolvimento está correto. Nós continuamos a conta nesse treço:

ii) Sendo distancia igual a velocidade pelo tempo: [tex3](AB) = V_dx \cdot 2t[/tex3]

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[tex3](AB) = V_dx \cdot 2t[/tex3]

O que nos permite encontrar:

[tex3](AB) = V_dx \cdot 2t[/tex3]

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[tex3](AB) = V_dx \cdot 2t[/tex3]

[tex3]{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}R{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sen(\theta)}} = V_d\cos(\theta)\cdot \frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}V_d{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sen(\theta)}}}{g}[/tex3]

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[tex3]{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}R{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sen(\theta)}} = V_d\cos(\theta)\cdot \frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}V_d{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sen(\theta)}}}{g}[/tex3]

[tex3]R=V_d^2\cdot\frac{\cos(\theta)}g[/tex3]

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[tex3]R=V_d^2\cdot\frac{\cos(\theta)}g[/tex3]

[tex3]\boxed{V_d^2=\frac{gR}{\cos(\theta)}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{V_d^2=\frac{gR}{\cos(\theta)}}[/tex3]

Aplicando agora a conservação de Energia:

[tex3]\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}m}}V_o^2}{2}=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}m}}V_d^2}{2}+{\color{Red}\cancel{\color{Black}m}}gR\[1+\cos(\theta)\][/tex3]

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[tex3]\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}m}}V_o^2}{2}=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}m}}V_d^2}{2}+{\color{Red}\cancel{\color{Black}m}}gR\[1+\cos(\theta)\][/tex3]

[tex3]V_o^2={\color{Purple}V_d^2}+2gR\[1+\cos(\theta)\][/tex3]

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[tex3]V_o^2={\color{Purple}V_d^2}+2gR\[1+\cos(\theta)\][/tex3]

[tex3]V_o^2={\color{Purple}\frac{gR}{\cos(\theta)}}+2gR\[1+\cos(\theta)\][/tex3]

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[tex3]V_o^2={\color{Purple}\frac{gR}{\cos(\theta)}}+2gR\[1+\cos(\theta)\][/tex3]

[tex3]V_o^2=\frac{\color{NavyBlue}gR}{\cos(\theta)}+2{\color{NavyBlue}gR}\[1+\cos(\theta)\][/tex3]

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[tex3]V_o^2=\frac{\color{NavyBlue}gR}{\cos(\theta)}+2{\color{NavyBlue}gR}\[1+\cos(\theta)\][/tex3]

[tex3]V_o^2={\color{NavyBlue}gR}\[\frac1{\cos(\theta)}+2\[1+\cos(\theta)\]\][/tex3]

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[tex3]V_o^2={\color{NavyBlue}gR}\[\frac1{\cos(\theta)}+2\[1+\cos(\theta)\]\][/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{V_o=\sqrt{gR\[\frac1{\cos(\theta)}+2\[1+\cos(\theta)\]\]}}[/tex3]

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[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{V_o=\sqrt{gR\[\frac1{\cos(\theta)}+2\[1+\cos(\theta)\]\]}}[/tex3]

[Picolino]

AA parça era cosseno de 2 teta, tendeu... vou refazer aki. Valeu mn