Quando um raio de sol penetra numa gota de água, ele sofre reflexões múltiplas internas acompanhadas de transmissões parciais para fora da gota. Considere um raio ABCDE que sofre uma única reflexão interna antes de emergir da gota (Figura).
O arco-íris primário se forma quando o desvio θ é mínimo. Mostre que isso acontece para um ângulo de incidência θ1r tal que
Física II ⇒ Óptica geométrica Moysés Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2020
01
08:23
Re: Óptica geométrica Moysés
Olá:
Encontrei uma resolução na internet e vou passar aqui.
Infelizmente vamos precisar usar o conceito de derivada.
Vamos lá:
1) Por semelhança , os triangulos OBC e OCD são isosceles, assim os angulos que eu marquei em preto são todos iguais a [tex3]\theta _2[/tex3]
2) O desvio total [tex3]\theta [/tex3] é a soma de todos os desvios parciais , nesse caso os desvios parciais eu as marquei de marrom , verde e azul, ou seja:
[tex3]\theta [/tex3] = marrom + verde + azul.
Perceba que
i) [tex3]\theta _1=marrom+\theta_2[/tex3]
marrom = [tex3]\theta _1-\theta_2[/tex3]
ii) [tex3]2\theta_2+verde=\pi [/tex3]
verde= [tex3]\pi-2\theta _2[/tex3]
iii) Por lei de snell , na ultima refraçao (agua - ar)
[tex3]n\theta _2=1.sen\alpha[/tex3]
Na primeira refraçao (ar - agua)
[tex3]sen\theta _1=n.sen\theta_2[/tex3]
Ou seja
[tex3]\alpha =\theta _1[/tex3]
Azul = [tex3]\theta _1-\theta_2[/tex3]
Substituindo:
[tex3]\theta =2\theta_1-4\theta_2+\pi[/tex3]
2) Como queremos o desvio minimo , devemos minimizar [tex3]\theta [/tex3] ou seja aplicamos uma derivada e igualamos a zero:
Vamos derivar em funçao de [tex3]\theta _1[/tex3]
[tex3]\frac{d\theta}{d\theta_1}=\frac{d(2\theta_1-4\theta_2+\pi)}{d\theta_1}=2-\frac{4d\theta_2}{d\theta_1}=0[/tex3]
Logo:
[tex3]\frac{d\theta_2}{d\theta_1}=\frac{1}{2}[/tex3] (i)
Pela lei de Snell:
[tex3]1.sen\theta_1=nsen\theta_2 [/tex3]
[tex3]\theta _2=arcsen\left(\frac{sen\theta_1}{n}\right)[/tex3]
Derivando em funçao de [tex3]\theta _1[/tex3]
[tex3]\frac{d\theta_2}{d\theta_1}=\frac{d (arcsen\left(\frac{sen\theta_1}{n}\right))}{d\theta_1}=\frac{\frac{cos\theta_1}{n}}{\sqrt{1-\left(\frac{sen\theta_1}{n}\right)^2}}[/tex3] (ii)
Recomendo voce pesquisar depois a derivada de arcos trigonometricos caso nao saiba.
Subsitutuindo (i) em (ii)
[tex3]\frac{1}{2}=\frac{\frac{cos\theta_1}{n}}{\sqrt{1-\left(\frac{sen\theta_1}{n}\right)^2}}[/tex3]
Agora é só fazer algumas manipulaçoes que voce chega no resultado.
Caso nao consiga eu mando depois.
Encontrei uma resolução na internet e vou passar aqui.
Infelizmente vamos precisar usar o conceito de derivada.
Vamos lá:
1) Por semelhança , os triangulos OBC e OCD são isosceles, assim os angulos que eu marquei em preto são todos iguais a [tex3]\theta _2[/tex3]
2) O desvio total [tex3]\theta [/tex3] é a soma de todos os desvios parciais , nesse caso os desvios parciais eu as marquei de marrom , verde e azul, ou seja:
[tex3]\theta [/tex3] = marrom + verde + azul.
Perceba que
i) [tex3]\theta _1=marrom+\theta_2[/tex3]
marrom = [tex3]\theta _1-\theta_2[/tex3]
ii) [tex3]2\theta_2+verde=\pi [/tex3]
verde= [tex3]\pi-2\theta _2[/tex3]
iii) Por lei de snell , na ultima refraçao (agua - ar)
[tex3]n\theta _2=1.sen\alpha[/tex3]
Na primeira refraçao (ar - agua)
[tex3]sen\theta _1=n.sen\theta_2[/tex3]
Ou seja
[tex3]\alpha =\theta _1[/tex3]
Azul = [tex3]\theta _1-\theta_2[/tex3]
Substituindo:
[tex3]\theta =2\theta_1-4\theta_2+\pi[/tex3]
2) Como queremos o desvio minimo , devemos minimizar [tex3]\theta [/tex3] ou seja aplicamos uma derivada e igualamos a zero:
Vamos derivar em funçao de [tex3]\theta _1[/tex3]
[tex3]\frac{d\theta}{d\theta_1}=\frac{d(2\theta_1-4\theta_2+\pi)}{d\theta_1}=2-\frac{4d\theta_2}{d\theta_1}=0[/tex3]
Logo:
[tex3]\frac{d\theta_2}{d\theta_1}=\frac{1}{2}[/tex3] (i)
Pela lei de Snell:
[tex3]1.sen\theta_1=nsen\theta_2 [/tex3]
[tex3]\theta _2=arcsen\left(\frac{sen\theta_1}{n}\right)[/tex3]
Derivando em funçao de [tex3]\theta _1[/tex3]
[tex3]\frac{d\theta_2}{d\theta_1}=\frac{d (arcsen\left(\frac{sen\theta_1}{n}\right))}{d\theta_1}=\frac{\frac{cos\theta_1}{n}}{\sqrt{1-\left(\frac{sen\theta_1}{n}\right)^2}}[/tex3] (ii)
Recomendo voce pesquisar depois a derivada de arcos trigonometricos caso nao saiba.
Subsitutuindo (i) em (ii)
[tex3]\frac{1}{2}=\frac{\frac{cos\theta_1}{n}}{\sqrt{1-\left(\frac{sen\theta_1}{n}\right)^2}}[/tex3]
Agora é só fazer algumas manipulaçoes que voce chega no resultado.
Caso nao consiga eu mando depois.
Última edição: A13235378 (Qui 01 Out, 2020 08:24). Total de 1 vez.
"O que sabemos é uma gota , o que ignoramos é um oceano." Isaac Newton
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