Físico-Química ⇒ Radioatividade

[Caroline1997]

Por favor, preciso de ajuda nessa questão!

Os irradiadores, denominador de Bombas de Cobalto, possuem uma fonte radioativa de alta atividade, cerca de 3000 curies, circundada por uma blindagem muito grande e com uma "janela" de saída de um feixe colimado, após a retirada de um obturador. Uma Bomba de Cobalto para utilização em um estudo de radioterapia contém uma liga de cobalto-60 (meia-vida de 5 anos) e césio-137 (meia-vida de 30,0 anos). Sabendo-se que a atividade inicial do cobalto-60 é de 400 vezes a atividade inicial do césio-137, quanto tempo após o ensaio inicial a atividade do césio-137 passa a ser 0,25 vezes a atividade de cobalto-60?
Dado: log2= 0,3

a) 16 anos
b) 32 anos
c) 40 anos
d) 72 anos
e) 96 anos

[Bira]

Olá, tive uma certa dificuldade na interpretação da questão, mas espero que esteja certo o meu raciocínio.

Para o Cobalto-60:
Temos: [tex3]m_{Co}=m'_o*\frac{1}{2^x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m_{Co}=m'_o*\frac{1}{2^x}[/tex3]

, em que m'_o é a massa inicial de Cobalto-60 e x corresponde a uma meia-vida do mesmo.
Para o Césio-137:
Temos [tex3]m_{Cs}=m_o*\frac{1}{2^y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m_{Cs}=m_o*\frac{1}{2^y}[/tex3]

, em que m_o é a massa inicial de Césio-137 e y corresponde a uma meia-vida do mesmo.

Primeiras substituições:
Veja que o expoente do Césio pode ser expresso como: [tex3]y=\frac{x}{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=\frac{x}{6}[/tex3]

, pois a meia-vida do Césio-137 é 6 vezes maior.
Quando é dito no enunciado que a atividade do Cobalto-60 é 400 vezes a do Césio-137, podemos interpretar como se a massa inicial do Cobalto-60 equivalesse a 400 vezes a massa inicial do Césio-137. Assim: [tex3]m'_o=400*m_o[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m'_o=400*m_o[/tex3]

.

Queremos determinar após quanto tempo a atividade de Césio-137 corresponde a 0,25 da atividade do Cobalto-60:
[tex3]m_{Cs}=\frac{m_{Co}}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m_{Cs}=\frac{m_{Co}}{4}[/tex3]

, então fazemos as substituições e ficamos com:
[tex3]m_o*\frac{1}{2^{\frac{x}{6}}}=\frac{400*m_o}{4}*\frac{1}{2^x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m_o*\frac{1}{2^{\frac{x}{6}}}=\frac{400*m_o}{4}*\frac{1}{2^x}[/tex3]

[tex3]2^{\frac{5x}{6}}=100[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{\frac{5x}{6}}=100[/tex3]

[tex3]\log_{10}2^{\frac{5x}{6}}=\log_{10}100[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{10}2^{\frac{5x}{6}}=\log_{10}100[/tex3]

[tex3]\frac{5x}{6}*\log_{10}2=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5x}{6}*\log_{10}2=2[/tex3]

[tex3]\frac{5x}{6}=\frac{2}{0,3}\rightarrow x=8[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5x}{6}=\frac{2}{0,3}\rightarrow x=8[/tex3]

Assim, temos o tempo equivalente a 8 meias-vidas de Cobalto-60, cada uma com 5 anos, logo o tempo total seria de 40 anos, letra c).