Física III ⇒ (FB) Resistores

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A resistência equivalente entre os pontos a e b vale:

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Resposta

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[tex3]\left(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right)R[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right)R[/tex3]

[παθμ]

Vamos ver como podemos calcular a resistência equivalente de uma associação desse tipo:

3ef39af6-0c14-4477-87c3-238edcc7b3c8.jpg (7.77 KiB) Exibido 329 vezes

Ela é uma função [tex3]f(k,R_0),[/tex3]

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[tex3]f(k,R_0),[/tex3]

onde [tex3]R_0[/tex3]

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[tex3]R_0[/tex3]

é a resistência do resistor inicial (no caso, R0=R).

Veja também que essa associação é igual a uma associação em paralelo de uma resistência [tex3]f(k,kR)[/tex3]

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[tex3]f(k,kR)[/tex3]

com uma resistência [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

e associada a uma resistência R. Ou seja, [tex3]f(k,R)=R+\frac{f(k,kR)R}{f(k,kR)+R}.[/tex3]

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[tex3]f(k,R)=R+\frac{f(k,kR)R}{f(k,kR)+R}.[/tex3]

Mas, por análise dimensional, podemos afirmar que [tex3]f(k,R)=g(k)R,[/tex3]

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[tex3]f(k,R)=g(k)R,[/tex3]

onde g é outra função. Daí, temos [tex3]f(k,kR)=kf(k,R),[/tex3]

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[tex3]f(k,kR)=kf(k,R),[/tex3]

e então, sendo [tex3]R_1 \equiv f(k,R):[/tex3]

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[tex3]R_1 \equiv f(k,R):[/tex3]

[tex3]R_1=R+\frac{RR_1/2}{R+R_1/2} \Longrightarrow 2R^2+2RR_1=2RR_1+R_1^2 \Longrightarrow R_1=\sqrt{2}R.[/tex3]

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[tex3]R_1=R+\frac{RR_1/2}{R+R_1/2} \Longrightarrow 2R^2+2RR_1=2RR_1+R_1^2 \Longrightarrow R_1=\sqrt{2}R.[/tex3]

Então a associação de cima é equivalente a uma resistência [tex3]\sqrt{2}R.[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}R.[/tex3]

Já a associação de baixo é apenas uma associação em paralelo infinita. Temos [tex3]\frac{1}{R_2}=\frac{1}{R}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...\right)=\frac{2}{R} \Longrightarrow R_2=\frac{R}{2}.[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{R_2}=\frac{1}{R}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...\right)=\frac{2}{R} \Longrightarrow R_2=\frac{R}{2}.[/tex3]

Daí a resistência equivalente entre A e B é [tex3]R_1+R_2=\boxed{\left(\sqrt{2}+\frac{1}{2}\right)R}[/tex3]

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[tex3]R_1+R_2=\boxed{\left(\sqrt{2}+\frac{1}{2}\right)R}[/tex3]

Alternativa C