Física III ⇒ (FB) Resistores

[Deleted User 23699]

Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B. A figura representa uma associação infinita de resistores, cada um com resistência igual a 1ohm.

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Resposta

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[tex3]\frac{\sqrt{21}-1}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{21}-1}{3}[/tex3]

Eu cheguei praticamente na mesma coisa, só que no lugar do 1 em cima, um 3.

[παθμ]

Só para fins de visualização espacial, é melhor considerar o ponto A redefinido abaixo. A resistência equivalente claramente deve ser a mesma (é só uma mudança de perspectiva)

Screenshot 2024-02-06 112211.png (15.58 KiB) Exibido 253 vezes

Daí, traçamos o plano de simetria que passa pelos resistores superiores, o que nos leva a concluir que eles não fazem diferença. Ademais, para todos os resistores inferiores (aqueles cujos fios são ortogonais ao plano de simetria), separe cada um deles em uma associação em série de dois resistores 1/2, um do lado do espaço do ponto A e outro do lado do ponto B. Daí, seja C o nome dos pontos do plano de simetria (todos os pontos dele podem ter o mesmo nome porque todos estão no mesmo potencial). A partir de agora, só precisamos trabalhar com uma das metades do espaço, pois a resistência de B a C é a mesma de C a A.

Agora, para cada par de resistores de 1Ω e 1/2 Ω (os de 1/2 obviamente não estão na figura original), podemos ver que eles estão associados em paralelo, daí que cada par desses fica equivalente a uma resistência de 1/3 Ω. Agora a situação simplificou muito. O circuito equivalente de B a C fica assim, sendo [tex3]R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R[/tex3]

a resistência equivalente:

Screenshot 2024-02-06 113402.png (33.4 KiB) Exibido 253 vezes

Podemos achar [tex3]R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R[/tex3]

usando a técnica da auto-semelhança. A resistência equivalente entre B e C é R, e também uma associação em paralelo de [tex3]R+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R+1[/tex3]

e 1/3, ou seja, [tex3]\frac{(R+1)/3}{R+4/3}.[/tex3]

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[tex3]\frac{(R+1)/3}{R+4/3}.[/tex3]

[tex3]\frac{R+1}{3R+4}=R \Longrightarrow 3R^2+3R-1=0.[/tex3]

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[tex3]\frac{R+1}{3R+4}=R \Longrightarrow 3R^2+3R-1=0.[/tex3]

Descartando a raiz negativa, obtemos [tex3]R=\frac{\sqrt{21}-3}{6} \ohm.[/tex3]

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[tex3]R=\frac{\sqrt{21}-3}{6} \ohm.[/tex3]

A resistência entre A e B é [tex3]R_{AB}=2R=\boxed{\frac{\sqrt{21}-3}{3} \ohm}[/tex3]

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[tex3]R_{AB}=2R=\boxed{\frac{\sqrt{21}-3}{3} \ohm}[/tex3]

Eu cheguei praticamente na mesma coisa, só que no lugar do 1 em cima, um 3.

Sim, provavelmente foi um erro de digitação.