Física III(FB) Resistores Tópico resolvido

Eletricidade e Magnetismo

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Deleted User 23699
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Mai 2021 06 20:36

(FB) Resistores

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B.
34.png
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Resposta

[tex3]\sqrt{2}R[/tex3]




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παθμ
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Re: (FB) Resistores

Mensagem não lida por παθμ »

Vamos primeiramente calcular a resistência equivalente dessa associação, chame-a de [tex3]R_1[/tex3] .:
image (43).png
image (43).png (3.98 KiB) Exibido 398 vezes
Todos os resistores estão associados em paralelo:

[tex3]\frac{1}{R_1}=\frac{1}{R}+\frac{1}{2R}+\frac{1}{3R}+...=\frac{1}{R}\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{i}[/tex3]

O fato de que o somatório acima diverge é bem conhecido. Portanto: [tex3]\frac{1}{R_1}\rightarrow \infty[/tex3] -> [tex3]R_1=0[/tex3] .

Agora, vamos calcular a resistência equivalente dessa associação, chame-a de [tex3]R_2[/tex3] : (não estou incluindo o primeiro resistor, horizontal, que não está na foto)
image (44).png
image (44).png (4.49 KiB) Exibido 398 vezes
No meu desenho, quero substituir essa "sub-malha" infinita por 1 só resistor, que é sua resistência equivalente. Chame-a de [tex3]R'[/tex3] .
image (45).png
image (45).png (3.57 KiB) Exibido 398 vezes
Ou seja, [tex3]R_2[/tex3] é a resistência equivalente de uma associação em paralelo de uma resistência [tex3]R[/tex3] com uma resistência [tex3]\frac{R}{2}+R'[/tex3] .

Mas note que [tex3]R'[/tex3] é a resistência equivalente que a associação (de resistência equivalente [tex3]R_2[/tex3] ) teria se seu resistor inicial (vertical) tivesse resistência [tex3]R/2[/tex3] ao invés de [tex3]R[/tex3] .

Um simples argumento de análise dimensional nos leva a concluir que a resistência equivalente de uma associação desse tipo deve ser da forma [tex3]R_e(q, R_0)=f(q)R_0[/tex3] , onde [tex3]q[/tex3] é a razão da progressão geométrica e [tex3]R_0[/tex3] é a resistência do resistor inicial. Ou seja: [tex3]R_2=f(1/2)R[/tex3] , [tex3]R'=f(1/2)\frac{R}{2}[/tex3] .

Portanto: [tex3]R'=\frac{R_2}{2}[/tex3] .

Ou seja: [tex3]\frac{1}{R_2}=\frac{1}{R}+\frac{1}{\frac{R}{2}+\frac{R_2}{2}} \rightarrow R_2^2+2RR_2-R^2=0[/tex3] .

Descartando a raíz negativa, obtemos [tex3]R_2=(\sqrt{2}-1)R[/tex3] .

[tex3]R_{AB}=R+R_2+R_1[/tex3] -> [tex3]R_{AB}=\sqrt{2}R[/tex3]

Última edição: παθμ (Seg 15 Mai, 2023 12:13). Total de 1 vez.



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