Vamos primeiramente calcular a resistência equivalente dessa associação, chame-a de [tex3]R_1[/tex3]
.:
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Todos os resistores estão associados em paralelo:
[tex3]\frac{1}{R_1}=\frac{1}{R}+\frac{1}{2R}+\frac{1}{3R}+...=\frac{1}{R}\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{i}[/tex3]
O fato de que o somatório acima diverge é bem conhecido. Portanto: [tex3]\frac{1}{R_1}\rightarrow \infty[/tex3]
-> [tex3]R_1=0[/tex3]
.
Agora, vamos calcular a resistência equivalente dessa associação, chame-a de [tex3]R_2[/tex3]
: (não estou incluindo o primeiro resistor, horizontal, que não está na foto)
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No meu desenho, quero substituir essa "sub-malha" infinita por 1 só resistor, que é sua resistência equivalente. Chame-a de [tex3]R'[/tex3]
.
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Ou seja, [tex3]R_2[/tex3]
é a resistência equivalente de uma associação em paralelo de uma resistência [tex3]R[/tex3]
com uma resistência [tex3]\frac{R}{2}+R'[/tex3]
.
Mas note que [tex3]R'[/tex3]
é a resistência equivalente que a associação (de resistência equivalente [tex3]R_2[/tex3]
) teria se seu resistor inicial (vertical) tivesse resistência [tex3]R/2[/tex3]
ao invés de [tex3]R[/tex3]
.
Um simples argumento de análise dimensional nos leva a concluir que a resistência equivalente de uma associação desse tipo deve ser da forma [tex3]R_e(q, R_0)=f(q)R_0[/tex3]
, onde [tex3]q[/tex3]
é a razão da progressão geométrica e [tex3]R_0[/tex3]
é a resistência do resistor inicial. Ou seja: [tex3]R_2=f(1/2)R[/tex3]
, [tex3]R'=f(1/2)\frac{R}{2}[/tex3]
.
Portanto: [tex3]R'=\frac{R_2}{2}[/tex3]
.
Ou seja: [tex3]\frac{1}{R_2}=\frac{1}{R}+\frac{1}{\frac{R}{2}+\frac{R_2}{2}} \rightarrow R_2^2+2RR_2-R^2=0[/tex3]
.
Descartando a raíz negativa, obtemos [tex3]R_2=(\sqrt{2}-1)R[/tex3]
.
[tex3]R_{AB}=R+R_2+R_1[/tex3]
->
[tex3]R_{AB}=\sqrt{2}R[/tex3]