Física III ⇒ (FB) Potencial elétrico

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Sabendo-se que o potencial de um dipolo elétrico é dado pela fórmula abaixo, onde p é o vetor momento de dipolo, cujo módulo e dado pelo produto de uma carga do dipolo pela distância entre as cargas.
Usando o esquema da figura a seguir
Mostre que o potencial do sistema é dado por

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[joaopcarv]

A definição do momento de dipolo elétrico [tex3]\mathsf{\vec{p}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\vec{p}}[/tex3]

está um pouco imprecisa em "cujo módulo e dado pelo produto de uma carga do dipolo pela distância entre as cargas."

Sendo a distribuição de cargas do exercício discreta, podemos definir [tex3]\mathsf{\vec{p}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\vec{p}}[/tex3]

como sendo:

[tex3]\mathsf{\vec{p} \ = \ \sum_{i \ = \ i}^{n} \ q_i \cdot \vec{r_i}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\vec{p} \ = \ \sum_{i \ = \ i}^{n} \ q_i \cdot \vec{r_i}}[/tex3]

Sendo [tex3]\mathsf{\vec{r_i}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\vec{r_i}}[/tex3]

a posição vetorial da carga [tex3]\mathsf{q_i}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{q_i}[/tex3]

e, para o caso, [tex3]\mathsf{n \ = \ 4.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{n \ = \ 4.}[/tex3]

Vamos considerar a posição vetorial de cada carga em relação à origem:

[tex3]\mathsf{\vec{p} \ = \ \sum_{i \ = \ i}^{4} \ q_i \cdot \vec{r_i}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\vec{p} \ = \ \sum_{i \ = \ i}^{4} \ q_i \cdot \vec{r_i}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\vec{p} \ = \ \cancel{-2\cdot q \cdot a\ \hat{j}} \ + \ 3 \cdot q \cdot a \ \hat{k} \ \cancel{-2 \cdot q \cdot -a \ \hat{j}} \ + \ q \cdot - a \ \hat{k}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\vec{p} \ = \ \cancel{-2\cdot q \cdot a\ \hat{j}} \ + \ 3 \cdot q \cdot a \ \hat{k} \ \cancel{-2 \cdot q \cdot -a \ \hat{j}} \ + \ q \cdot - a \ \hat{k}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\vec{p} \ = \ 2 \cdot q \cdot a \ \hat{k}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\vec{p} \ = \ 2 \cdot q \cdot a \ \hat{k}}[/tex3]

Por fim, considerando um ponto qualquer do espaço cuja posição vetorial em relação à origem seja [tex3]\mathsf{\vec{r} \ = \ r\ \hat{r}.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\vec{r} \ = \ r\ \hat{r}.}[/tex3]

Temos que [tex3]\mathsf{V \ = \ \dfrac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \dfrac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3} \ = \ \dfrac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \dfrac{2 \cdot q \cdot a \cdot r}{r^3} \cdot \bigg( \hat{k} \cdot \hat{r}\bigg)}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{V \ = \ \dfrac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \dfrac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3} \ = \ \dfrac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \dfrac{2 \cdot q \cdot a \cdot r}{r^3} \cdot \bigg( \hat{k} \cdot \hat{r}\bigg)}[/tex3]

Sendo [tex3]\psi[/tex3]

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[tex3]\psi[/tex3]

o ângulo entre os versores [tex3]\mathsf{\hat{k}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\hat{k}}[/tex3]

e [tex3]\mathsf{\hat{r}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\hat{r}}[/tex3]

, temos [tex3]\mathsf{\hat{k} \cdot \hat{r} \ = \cancelto{1}{\ \Big|\Big|\hat{k}\Big|\Big|} \cdot \cancelto{1}{\ \Big|\Big|\hat{r}\Big|\Big|} \cdot \cos(\psi)}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\hat{k} \cdot \hat{r} \ = \cancelto{1}{\ \Big|\Big|\hat{k}\Big|\Big|} \cdot \cancelto{1}{\ \Big|\Big|\hat{r}\Big|\Big|} \cdot \cos(\psi)}[/tex3]

, mas, da definição do exercício, [tex3]\mathsf{\psi \ = \ \theta}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\psi \ = \ \theta}[/tex3]

, já que [tex3]\mathsf{\vec{p}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\vec{p}}[/tex3]

fica orientado junto ao eixo [tex3]\mathsf{z}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{z}[/tex3]

, no caso. Portanto:

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{V \ = \ \dfrac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \dfrac{2 \cdot q \cdot a \cdot \cos(\theta)}{r^2}}}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{V \ = \ \dfrac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \dfrac{2 \cdot q \cdot a \cdot \cos(\theta)}{r^2}}}}[/tex3]