Sabendo-se que o potencial de um dipolo elétrico é dado pela fórmula abaixo, onde p é o vetor momento de dipolo, cujo módulo e dado pelo produto de uma carga do dipolo pela distância entre as cargas.
Usando o esquema da figura a seguir
Mostre que o potencial do sistema é dado por
Física III ⇒ (FB) Potencial elétrico
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Abr 2021
23
08:21
Re: (FB) Potencial elétrico
A definição do momento de dipolo elétrico [tex3]\mathsf{\vec{p}}[/tex3]
Sendo a distribuição de cargas do exercício discreta, podemos definir [tex3]\mathsf{\vec{p}}[/tex3] como sendo:
[tex3]\mathsf{\vec{p} \ = \ \sum_{i \ = \ i}^{n} \ q_i \cdot \vec{r_i}}[/tex3]
Sendo [tex3]\mathsf{\vec{r_i}}[/tex3] a posição vetorial da carga [tex3]\mathsf{q_i}[/tex3] e, para o caso, [tex3]\mathsf{n \ = \ 4.}[/tex3]
Vamos considerar a posição vetorial de cada carga em relação à origem:
[tex3]\mathsf{\vec{p} \ = \ \sum_{i \ = \ i}^{4} \ q_i \cdot \vec{r_i}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\vec{p} \ = \ \cancel{-2\cdot q \cdot a\ \hat{j}} \ + \ 3 \cdot q \cdot a \ \hat{k} \ \cancel{-2 \cdot q \cdot -a \ \hat{j}} \ + \ q \cdot - a \ \hat{k}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\vec{p} \ = \ 2 \cdot q \cdot a \ \hat{k}}[/tex3]
Por fim, considerando um ponto qualquer do espaço cuja posição vetorial em relação à origem seja [tex3]\mathsf{\vec{r} \ = \ r\ \hat{r}.}[/tex3]
Temos que [tex3]\mathsf{V \ = \ \dfrac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \dfrac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3} \ = \ \dfrac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \dfrac{2 \cdot q \cdot a \cdot r}{r^3} \cdot \bigg( \hat{k} \cdot \hat{r}\bigg)}[/tex3]
Sendo [tex3]\psi[/tex3] o ângulo entre os versores [tex3]\mathsf{\hat{k}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\hat{r}}[/tex3] , temos [tex3]\mathsf{\hat{k} \cdot \hat{r} \ = \cancelto{1}{\ \Big|\Big|\hat{k}\Big|\Big|} \cdot \cancelto{1}{\ \Big|\Big|\hat{r}\Big|\Big|} \cdot \cos(\psi)}[/tex3] , mas, da definição do exercício, [tex3]\mathsf{\psi \ = \ \theta}[/tex3] , já que [tex3]\mathsf{\vec{p}}[/tex3] fica orientado junto ao eixo [tex3]\mathsf{z}[/tex3] , no caso. Portanto:
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{V \ = \ \dfrac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \dfrac{2 \cdot q \cdot a \cdot \cos(\theta)}{r^2}}}}[/tex3]
está um pouco imprecisa em "cujo módulo e dado pelo produto de uma carga do dipolo pela distância entre as cargas."Sendo a distribuição de cargas do exercício discreta, podemos definir [tex3]\mathsf{\vec{p}}[/tex3] como sendo:
[tex3]\mathsf{\vec{p} \ = \ \sum_{i \ = \ i}^{n} \ q_i \cdot \vec{r_i}}[/tex3]
Sendo [tex3]\mathsf{\vec{r_i}}[/tex3] a posição vetorial da carga [tex3]\mathsf{q_i}[/tex3] e, para o caso, [tex3]\mathsf{n \ = \ 4.}[/tex3]
Vamos considerar a posição vetorial de cada carga em relação à origem:
[tex3]\mathsf{\vec{p} \ = \ \sum_{i \ = \ i}^{4} \ q_i \cdot \vec{r_i}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\vec{p} \ = \ \cancel{-2\cdot q \cdot a\ \hat{j}} \ + \ 3 \cdot q \cdot a \ \hat{k} \ \cancel{-2 \cdot q \cdot -a \ \hat{j}} \ + \ q \cdot - a \ \hat{k}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\vec{p} \ = \ 2 \cdot q \cdot a \ \hat{k}}[/tex3]
Por fim, considerando um ponto qualquer do espaço cuja posição vetorial em relação à origem seja [tex3]\mathsf{\vec{r} \ = \ r\ \hat{r}.}[/tex3]
Temos que [tex3]\mathsf{V \ = \ \dfrac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \dfrac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3} \ = \ \dfrac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \dfrac{2 \cdot q \cdot a \cdot r}{r^3} \cdot \bigg( \hat{k} \cdot \hat{r}\bigg)}[/tex3]
Sendo [tex3]\psi[/tex3] o ângulo entre os versores [tex3]\mathsf{\hat{k}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\hat{r}}[/tex3] , temos [tex3]\mathsf{\hat{k} \cdot \hat{r} \ = \cancelto{1}{\ \Big|\Big|\hat{k}\Big|\Big|} \cdot \cancelto{1}{\ \Big|\Big|\hat{r}\Big|\Big|} \cdot \cos(\psi)}[/tex3] , mas, da definição do exercício, [tex3]\mathsf{\psi \ = \ \theta}[/tex3] , já que [tex3]\mathsf{\vec{p}}[/tex3] fica orientado junto ao eixo [tex3]\mathsf{z}[/tex3] , no caso. Portanto:
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{V \ = \ \dfrac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \dfrac{2 \cdot q \cdot a \cdot \cos(\theta)}{r^2}}}}[/tex3]
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
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