Para simplificarmos, vamos considerar o eixo [tex3]\mathsf{E}[/tex3]
como sendo o eixo [tex3]\mathsf{z}[/tex3]
e que, portanto, a barra se encontra no plano [tex3]\mathsf{xy}[/tex3]
girando entorno do eixo [tex3]\mathsf{z.}[/tex3]
Do enunciado, temos que [tex3]\mathsf{\vec{B} \ = \ 0,5 \ \hat{k} \ T}[/tex3]
(como pede-se [tex3]\varepsilon[/tex3]
, então adotaremos um sentido arbitrário para o campo magnético e para a rotação da barra.)
Sejam [tex3]\mathsf{A}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{B}[/tex3]
as extremidades da barra. Consideraremos que [tex3]\mathsf{A}[/tex3]
está na origem e que [tex3]\mathsf{B}[/tex3]
está a uma distância de [tex3]\mathsf{L \ = \ 0,2 \ m}[/tex3]
da origem.
Seja [tex3]\omega[/tex3]
o módulo da velocidade angular da barra. Se a mesma gira a uma taxa constante de [tex3]\mathsf{f \ = \ 1500 \ rpm \ = \ 25 \ hz}[/tex3]
, temos que [tex3]\omega[/tex3]
é constante e vale [tex3]\mathsf{\omega \ = \ 2 \cdot \cancelto{3}{\pi} \cdot 25 \ = \ 150 \ \dfrac{rad}{s}}.[/tex3]
Como a barra gira ao redor de [tex3]\mathsf{z}[/tex3]
, então [tex3]\mathsf{\vec{\omega} \ = \ 150 \ \hat{k} \ \dfrac{rad}{s}}.[/tex3]
Seja [tex3]\varepsilon[/tex3]
o módulo da força eletromotriz induzida na barra, ou seja, o módulo de [tex3]\mathsf{V_{AB}.}[/tex3]
Pela Lei de Faraday:
[tex3]\mathsf{\varepsilon \ = \ \Bigg|\dfrac{\partial \Phi_{M}}{\partial t}\Bigg|,}[/tex3]
em que [tex3]\mathsf{\Phi_{M}}[/tex3]
é o fluxo magnético na área [tex3]\mathsf{S}[/tex3]
delimitada por [tex3]\mathsf{A}[/tex3]
a [tex3]\mathsf{B}[/tex3]
.
Tratando-se de uma rotação, adotando o eixo [tex3]\mathsf{x}[/tex3]
como referência, a área [tex3]\mathsf{S}[/tex3]
é o setor circular de raio [tex3]\mathsf{R \ = \ L \ =\ 0,2 \ m}[/tex3]
, com [tex3]\theta[/tex3]
sendo o ângulo entre o eixo [tex3]\mathsf{x}[/tex3]
e a barra. Mas, a rigor, vamos à definição:
[tex3]\mathsf{\Phi_{M} \ = \iint_{S} \ \vec{B} \cdot \vec{dA}}[/tex3]
Sendo que a barra permanece rotacionando no plano [tex3]\mathsf{xy}[/tex3]
, a área [tex3]\mathsf{S}[/tex3]
e seus infinitesimais são constantemente orientados pela normal [tex3]\mathsf{\vec{n} \ = \ \hat{k}.}[/tex3]
Portanto temos:
[tex3]\mathsf{\vec{dA}\ =\ \underbrace{dr}_{infinitesimal \ de \ raio} \cdot \underbrace{r \cdot d\theta}_{inf. \ de \ arco} \ \underbrace{\hat{k}}_{\vec{n}}}[/tex3]
Calculando então o fluxo, com [tex3]\mathsf{\vec{B} \ = \ 0,5 \ \hat{k} \ T:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\Phi_{M} \ = \int\limits_{0}^{\theta}\int\limits_{0}^{0,2} \ 0,5 \cdot \cancelto{1}{\hat{k} \cdot \hat{k}} \cdot rdrd\theta}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\Phi_{M}\ = \ 0,01 \cdot \theta \ Wb}[/tex3]
Por fim, voltando à Lei de Faraday:
[tex3]\mathsf{\varepsilon \ = \ \Bigg|\dfrac{\partial \Phi_{M}}{\partial t}\Bigg|}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\varepsilon \ = \ \Bigg|\dfrac{\partial (0,01 \cdot \theta)}{\partial t}\Bigg|}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\varepsilon \ = \ 0,01 \cdot \Bigg| \dfrac{d\theta}{dt} \Bigg|}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\varepsilon \ = \ 0,01 \cdot |\omega|}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\varepsilon \ = \ 0,01 \cdot 150 }[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\varepsilon \ = \ 1,5 \ V}}}[/tex3]
Penso ser isso
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP