Adotando um sistema [tex3]\mathsf{\Big(\hat{i}, \hat{j}\Big)}[/tex3]
, considerando [tex3]\mathsf{q_{_1}, q_{_2} \ > \ 0}[/tex3]
, vamos decompor todas as forças presentes nas partículas e considerar a condição de equilíbrio. Para isso, adotamos os seguintes diagramas:
- fariasbrito.jpg (1.7 MiB) Exibido 647 vezes
Para as forças elétrica [tex3]\mathsf{F_{el}}[/tex3]
e tensão [tex3]\mathsf{T}[/tex3]
, a linha de ação é paralela à angulação do cabo. Os módulos dessas forças serão iguais para as duas partículas (sejam [tex3]\mathsf{F_{el}}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{T}[/tex3]
esses módulos), sendo então que os módulos de suas projeções serão iguais e em sentidos opostos.
As forças normais [tex3]\mathsf{N_1}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{N_2}[/tex3]
têm módulos diferentes (em termos genéricos).
[tex3]\Rightarrow[/tex3]
Para a partícula [tex3]\mathsf{1}[/tex3]
:
[tex3]\hookrightarrow[/tex3]
Forças atuantes:
[tex3]\bullet[/tex3]
Peso [tex3]\mathsf{\vec{P_1} \ = \ - m\cdot g \ \hat{j};}[/tex3]
[tex3]\bullet[/tex3]
Normal [tex3]\mathsf{\vec{N_1} \ = -N_1 \cdot \cos\big(60^\circ\big) \ \hat{i} \ + \ N_1 \cdot \sen\big(60^\circ\big) \ \hat{j};}[/tex3]
[tex3]\bullet[/tex3]
Elétrica [tex3]\mathsf{\vec{F_{el1}} \ = -F_{el} \cdot \cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ \hat{i} \ + \ F_{el} \cdot \sen\big(\alpha \ - 30^\circ\big) \ \hat{j};}[/tex3]
[tex3]\bullet[/tex3]
Tensão [tex3]\mathsf{\vec{T_1} \ = T \cdot \cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ \hat{i} \ - \ T \cdot \sen\big(\alpha \ - 30^\circ\big) \ \hat{j};}[/tex3]
[tex3]\hookrightarrow[/tex3]
Condição de equilíbrio: [tex3]\mathsf{\vec{R_1} \ = \vec{0}:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\bullet \ T \cdot \cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ = \ N_1 \cdot \cos\big(60^\circ\big) \ + \ F_{el} \cdot \cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ \Big(\hat{i}\Big)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\big(T \ - \ F_{el}\big) \cdot \cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ = \ N_1 \cdot \cos\big(60^\circ\big) \ (I)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\bullet \ N_1 \cdot \sen\big(60^\circ\big) + \ F_{el} \cdot \sen\big(\alpha \ - 30^\circ\big) \ = \ m \cdot g \ + \ T \cdot \sen\big(\alpha \ - 30^\circ\big) \ \Big(\hat{j}\Big)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\big(T \ - \ F_{el}\big) \cdot \sen\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ = \ N_1 \cdot \sen\big(60^\circ\big) \ - m\cdot g \ (II)}[/tex3]
Substituindo [tex3]\mathsf{I}[/tex3]
em [tex3]\mathsf{II}[/tex3]
, temos:
[tex3]\mathsf{\big(T \ - \ F_{el}\big) \cdot \sen\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ = \ \big(T \ - \ F_{el}\big) \cdot \cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \cdot \tan\big(60^\circ\big) \ - m\cdot g}[/tex3]
[tex3]\mathsf{m \cdot g \ = \ \big(T \ - \ F_{el}\big) \cdot \big(\cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \cdot \tan\big(60^\circ\big) \ - \ \sen\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big)\big) \ \big(III\big)}[/tex3]
.
[tex3]\Rightarrow[/tex3]
Para a partícula [tex3]\mathsf{2}[/tex3]
:
[tex3]\hookrightarrow[/tex3]
Forças atuantes:
[tex3]\bullet[/tex3]
Peso [tex3]\mathsf{\vec{P_2} \ = \ - m\cdot g \ \hat{j};}[/tex3]
[tex3]\bullet[/tex3]
Normal [tex3]\mathsf{\vec{N_2} \ = N_2 \cdot \cos\big(30^\circ\big) \ \hat{i} \ + \ N_2 \cdot \sen\big(3
0^\circ\big) \ \hat{j};}[/tex3]
[tex3]\bullet[/tex3]
Elétrica [tex3]\mathsf{\vec{F_{el2}} \ = F_{el} \cdot \cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ \hat{i} \ - \ F_{el} \cdot \sen\big(\alpha \ - 30^\circ\big) \ \hat{j};}[/tex3]
[tex3]\bullet[/tex3]
Tensão [tex3]\mathsf{\vec{T_2} \ = -T \cdot \cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ \hat{i} \ + \ T \cdot \sen\big(\alpha \ - 30^\circ\big) \ \hat{j};}[/tex3]
[tex3]\hookrightarrow[/tex3]
Condição de equilíbrio: [tex3]\mathsf{\vec{R_2} \ = \vec{0}:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\bullet \ T \cdot \cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ = \ N_2 \cdot \cos\big(30^\circ\big) \ + \ F_{el} \cdot \cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ \Big(\hat{i}\Big)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\big(T \ - \ F_{el}\big) \cdot \cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ = \ N_2 \cdot \cos\big(30^\circ\big) \ (IV)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\bullet \ N_2 \cdot \sen\big(30^\circ\big) + \ T \cdot \sen\big(\alpha \ - 30^\circ\big) \ = \ m \cdot g \ + \ F_{el} \cdot \sen\big(\alpha \ - 30^\circ\big) \ \Big(\hat{j}\Big)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\big(T \ - \ F_{el}\big) \cdot \sen\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ = \ m\cdot g \ - \ N_2 \cdot \sen\big(30^\circ\big)\ (V)}[/tex3]
Substituindo [tex3]\mathsf{IV}[/tex3]
em [tex3]\mathsf{V}[/tex3]
, tem-se:
[tex3]\mathsf{\big(T \ - \ F_{el}\big) \cdot \sen\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ = \ m\cdot g \ - \ \big(T \ - \ F_{el}\big) \cdot \cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \cdot \tan\big(30^\circ\big)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{m \cdot g \ = \ \big(T \ - \ F_{el}\big) \cdot \big(sen\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ + \cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \cdot \tan\big(30^\circ\big)\big) \ \big(VI\big)}[/tex3]
[tex3]\hookrightarrow[/tex3]
Igualando [tex3]\mathsf{(III)}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{(VI):}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\cancel{\big(T \ - \ F_{el}\big)} \cdot \big(\cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \cdot \tan\big(60^\circ\big) \ - \ \sen\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big)\big) \ = \ \cancel{\big(T \ - \ F_{el}\big)} \cdot \big(sen\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ + \ \cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \cdot \tan\big(30^\circ\big)\big)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{2 \cdot \sen\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big)\big) \ = \ \cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \cdot \big(\tan\big(60^\circ\big) \ - \ \tan\big(30^\circ\big)\big)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\tan\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ = \ \dfrac{\tan\big(60^\circ\big) \ - \ \tan\big(30^\circ\big)}{2}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\tan\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ = \dfrac{1}{\cancel{2}} \cdot \dfrac{\cancel{2} \cdot \sqrt{3}}{3}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\tan\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big) \ = \ \tan\big(30^\circ\big) \ \Rightarrow \ \boxed{\boxed{\alpha \ = \ 60^\circ}}}[/tex3]
Tendo agora a angulação do cabo, para descobrirmos o módulo da tensão, vamos substituir em [tex3]\mathsf{III}[/tex3]
, considerando o módulo da força elétrica:
[tex3]\mathsf{F_{el} \ = \ \dfrac{k_0 \cdot q_{_1} \cdot q_{_2}}{l^2}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{m \cdot g \ = \ \big(T \ - \ F_{el}\big) \cdot \big(\cos\big(60^\circ \ - \ 30^\circ\big) \cdot \tan\big(60^\circ\big) \ - \ \sen\big(60^\circ \ - \ 30^\circ\big)\big)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{m \cdot g \ = \ \big(T \ - \ F_{el}\big) \cdot \big(\cos\big(30^\circ\big) \cdot \tan\big(60^\circ\big) \ - \ \sen\big(30^\circ\big)\big)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{m \cdot g \ = \ T \ - \ F_{el}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{T \ = \ m \cdot g \ + \ \dfrac{k_0 \cdot q_{_1} \cdot q_{_2}}{l^2}}}}[/tex3]
Para o módulo da normal [tex3]\mathsf{N_1}[/tex3]
, subsistindo em [tex3]\mathsf{(I):}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\cancelto{m\cdot g}{\big(T \ - \ F_{el}\big)} \cdot \cancelto{\frac{\sqrt{3}}{\cancel{2}}}{\cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big)} \ = \ N_1 \cdot \cancelto{\frac{1}{\cancel{2}}}{\cos\big(60^\circ\big)}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{N_1 \ = \ \sqrt{3} \cdot m \cdot g}}}[/tex3]
Para o módulo da normal [tex3]\mathsf{N_2}[/tex3]
, subsistindo em [tex3]\mathsf{(IV):}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\cancelto{m\cdot g}{\big(T \ - \ F_{el}\big)}\cdot \cancelto{\cancel{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{\cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big)} \ = \ N_2 \cdot \cancelto{\cancel{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{\cos\big(30^\circ\big)}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{N_2 \ = \ m \cdot g}}}[/tex3]
Vamos utilizar a equação [tex3]\mathsf{III.}[/tex3]
Se o cabo for cortado, [tex3]\mathsf{T \ = \ 0:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{m \cdot g \ = \ \big(\cancelto{0}{T} \ - \ F_{el}\big) \cdot \Bigg(\cancelto{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big)} \cdot \cancelto{\sqrt{3}}{\tan\big(60^\circ\big)} \ - \ \cancelto{\frac{1}{2}}{\sen\big(\alpha \ - \ 30^\circ\big)}\Bigg)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{F_{el} \ = \ - m \cdot g}[/tex3]
Substituindo o módulo da força elétrica e considerando [tex3]\mathsf{k_0 \ = \ \dfrac{1}{4\cdot \pi \cdot \epsilon_0}:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{q_{_1} \cdot q_{_2}}{4\cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot l^2} \ = \ - m \cdot g}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{q_{_1} \cdot q_{_2} \ = \ - 4\cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot l^2 \cdot m \cdot g}}}[/tex3]
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP