Considere um pedaço infinitesimal de área [tex3]\Delta A_2[/tex3]
, circular, localizado à esquerda da carga [tex3]q[/tex3]
(nessa figura, representada pelo ponto P). Traçando segmentos a partir de cada um dos pontos da extremidade desse elemento passando pela carga, obtemos um outro elemento infinitesimal de área [tex3]\Delta A_1[/tex3]
. (Para essa figura se aplicar a essa questão, a direção dos campos E2 e E1 deve ser invertida.) Esse segundo elemento está mais afastado, e está localizado à direita da carga [tex3]q[/tex3]
.
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Por semelhança de triângulos: [tex3]\frac{r_1}{\sqrt{\Delta A_1}}=\frac{r_2}{\sqrt{\Delta A_2}}\rightarrow \frac{\Delta A_2}{\Delta A_1}=(\frac{r_2}{r_1})^2[/tex3]
Obs: Apesar de, no geral, o plano tangente a esses elementos de área não ser perpendicular aos vetores que unem o ponto P a esses elementos, veja que os ângulos formados entre cada plano e seu respectivo vetor posição relativo ao ponto P são iguais. Isso anula o "fator de distorção" no quociente.
A força resultante que a carga sente devido a esses elementos de área é [tex3]F=\frac{q\sigma \Delta A_1}{4 \pi \epsilon_0r_1^a}-\frac{q\sigma \Delta A_2}{4\pi \epsilon_0 r_2^a}=\frac{q\sigma}{4\pi \epsilon_0}(\frac{\Delta A_1}{r_1^a}-\frac{\Delta A_2}{r_2^a})[/tex3]
, onde a força é positiva apontando para o elemento de área mais longínquo (1). [tex3]\sigma[/tex3]
é o
módulo da densidade superficial de carga da esfera (ou seja, [tex3]\sigma>0[/tex3]
).
[tex3]\frac{\Delta A_1}{r_1^a}-\frac{\Delta A_2}{r_2^a}=\frac{\Delta A_2}{r_2^2}(r_1^{2-a}-r_2^{2-a})[/tex3]
.
Como [tex3]2-a>0[/tex3]
e [tex3]r_1>r_2[/tex3]
, temos [tex3]r_1^{2-a}-r_2^{2-a}>0[/tex3]
. Isso implica que [tex3]F>0[/tex3]
, ou seja, a força aponta para o elemento de área mais longínquo. Fazendo essa mesma construção para outros elementos de área até levarmos em consideração a casca esférica inteira, nós podemos ver, usando o fato de que a força devido a cada par de contribuições sempre aponta para o elemento mais distante, q
ue a força resultante na carga será radial para dentro (perceba a simetria).
Alternativa E
)
