Física IIIFisica geral e experimental III Tópico resolvido

Eletricidade e Magnetismo

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Danilo308
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Fisica geral e experimental III

Mensagem não lida por Danilo308 »

Uma amostra de um certo gás, que ocupa 0, 14 [tex3]m^{3}[/tex3] a uma pressão manométrica de 1, 03 × [tex3]10^{5}[/tex3] Pa, se expande isotermicamente até atingir a pressão atmosférica de 1, 01 × [tex3]10^{5}[/tex3] Pa e então é resfriada, a pressão constante, até que retorne ao seu volume inicial. Calcule o trabalho realizado pelo gás.




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Planck
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Re: Fisica geral e experimental III

Mensagem não lida por Planck »

Olá Danilo308,

Primeiramente, precisamos inferir que o trabalho total é composto por duas partes, cada uma respectiva aos processos mencionados. Desse fato, vamos obter o trabalho de cada parte. Para o primeiro processo, temos uma expansão isotérmica, cujo trabalho é calculado por:

[tex3]\text{W}_1 = \text{n} \cdot \text{R} \cdot \text{T} \int^{\text{V}}_{\text{V}_0} \frac{\text{dV}}{\text{V}}[/tex3]

Além disso, pela equação geral dos gases, é possível obter uma relação para o volume:

[tex3]\text{p}_0 \cdot \text{V}_0 = \text{p}_{\text{atm}} \cdot \text{V} \, \, \implies \, \, \text{V} = \frac{\text{p}_0 \cdot \text{V}_0 }{\text{p}_{\text{atm}} }[/tex3]

Portanto:

[tex3]\text{W}_1 = \text{n} \cdot \text{R} \cdot \text{T} \int^{\text{V}}_{\text{V}_0} \frac{\text{dV}}{\text{V}} \, \, \iff \, \, \text{n} \cdot \text{R} \cdot \text{T} \int^{\frac{\text{p}_0 \cdot \text{V}_0 }{\text{p}_{\text{atm}} }}_{\text{V}_0} \frac{\text{dV}}{\text{V}} \, \, \implies \, \,

\text{n} \cdot \text{R} \cdot \text{T} \cdot \ln \left( \frac{\frac{\text{p}_0 \cdot \text{V}_0 }{\text{p}_{\text{atm}} }}{\text{V}_0} \right)

[/tex3]

De onde obtemos que:

[tex3]

\underbrace{\text{n} \cdot \text{R} \cdot \text{T}}_{\text{p}_0 \cdot \text {V}_0} \cdot \ln \left( \frac{\text{p}_0}{\text{p}_{\text{atm}}} \right) \, \, \iff \, \, \text{W}_1 = \text{p}_0 \cdot \text {V}_0 \cdot \ln \left( \frac{\text{p}_0}{\text{p}_{\text{atm}}} \right)

[/tex3]

Para o segundo processo, realizado com pressão constante, temos que:

[tex3]\text{W}_2 = \text{p} \int^{\text{V}_0}_{\text{V}} \text{dV} \, \, \implies \, \, \text{W}_2 = \text{p} \cdot \Delta \text{V}[/tex3]

Nesse ponto, vamos fazer uma manipulação matemática, observe que:

[tex3]\text{W}_2 = \text{p} \cdot \Delta \text{V} \, \, \iff \, \, \text{W}_2 = \text{p} \cdot \left(\text{V}_0 - \text{V} \right) \, \, \iff \, \, \text{W}_2 = \text{p} \cdot \left(\text{V}_0 - \frac{\text{p}_0 \cdot \text{V}_0 }{\text{p}_{\text{atm}}} \right) [/tex3]

E, finalmente:

[tex3]\text{W}_2 = \text{p} \cdot \left(\text{V}_0 - \frac{\text{p}_0 \cdot \text{V}_0 }{\text{p}_{\text{atm}}} \right) \, \, \iff \, \, \text{W}_2 = (\text{p}_\text{atm} - \text{p}_0) \cdot \text{V}_0[/tex3]

Com isso:

[tex3]\text{W}_\text{T} = \text{W}_1 + \text{W}_2 \, \, \implies \, \, \text{W}_\text{T} = \text{p}_0 \cdot \text {V}_0 \cdot \ln \left( \frac{\text{p}_0}{\text{p}_{\text{atm}}} \right) + (\text{p}_\text{atm} - \text{p}_0) \cdot \text{V}_0[/tex3]

Ou ainda:

[tex3]\boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {\text{W}_\text{T} = \left[\text{p}_0 \cdot \ln \left( \frac{\text{p}_0}{\text{p}_{\text{atm}}} \right) + (\text{p}_\text{atm} - \text{p}_0) \right ]_{_{{⠀}_{⠀}}}\cdot \text{V}_0}^{{⠀}^{⠀}} } [/tex3]

Substituindo os dados, concluímos que:

[tex3]\text{W}_\text{T} = \left[2,04 \cdot 10^{5} \cdot \ln \left( \frac{2,04 \cdot 10^{5} }{1,01 \cdot 10^{5} } \right) + (1,01 \cdot 10^{5} -
2,04 \cdot 10^{5}) \right ]\cdot 0,14 \, \, \implies \, \,{\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {\text{W}_\text{T} \approx 5700 \text{ [J] }}^{{⠀}^{⠀}} }} [/tex3]

Última edição: Planck (Seg 09 Set, 2019 22:18). Total de 1 vez.



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