Física III

Bojack

Sabendo-se que o circuito da figura abaixo está no regime estacionário, caso a chave se feche no instante t = 0, determine [tex3]v_{out}[/tex3] para t > 0.

Olá.

Considerando a chave aberta, aplicando a LKT na malha 1:

: Screenshot_11.jpg (14.05 KiB) Exibido 776 vezes

[tex3]4(3) + 4(3 - I_2) = 0[/tex3]
[tex3]12 + 12 - 4I_2 = 0[/tex3]
[tex3]24 = 4I_2[/tex3]
[tex3]I_2 = 6A[/tex3] e

Assim, a tensão [tex3]v_{out}[/tex3] em t< 0 é

[tex3]V_{a} = 4(6-3) = 12V[/tex3]

[tex3]2V_a + 24 + 4(6-3) = V_{out} [/tex3]
[tex3]V_{out} = 24 + 12 + 24 = 60V[/tex3]

Quando a chave é fechada temos o circuito abaixo:

: Screenshot_12.jpg (8.85 KiB) Exibido 776 vezes

[tex3]v(t) - 2V_{a} - 24 + 2I_{c} = 0[/tex3]

Sendo [tex3]V_{a} = -2I_{c}[/tex3]
[tex3]v(t) + 4I_{c} - 24 + 2I_{c} = 0[/tex3]

[tex3]I_{c} = C\frac{dv}{dt}[/tex3]

[tex3]v(t) + 4C\frac{dv}{dt} - 24 + 2C\frac{dv}{dt} = 0[/tex3]

[tex3]C = 2F[/tex3]

[tex3]v(t) + 8\frac{dv}{dt} - 24 + 4\frac{dv}{dt} = 0[/tex3]
[tex3]v(t) + 12\frac{dv}{dt} = 24[/tex3]
[tex3]12\frac{dv}{dt} = 24 - v(t)[/tex3]
[tex3]\frac{dv}{dt} = \frac{-(-24 + v(t))}{12}[/tex3]

Multiplicando ambos os termos por [tex3]\frac{dt}{-24 + v(t)}[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{dv}{dt}.\frac{dt}{-24 + v(t)} = -\left (\frac{dt}{-24 + v(t)}. \frac{-24 + v(t)}{12}\right)[/tex3]
[tex3]\frac{dv}{-24 + v(t)} = -\frac{dt}{12}[/tex3]

Fazendo:
[tex3]u = -24 + v(t)[/tex3]
[tex3]du = dv[/tex3]

[tex3]\frac{du}{u} = -\frac{dt}{12}[/tex3]

Integrando ambos os termos
[tex3]\int\frac{du}{u} =-\int \frac{dt}{12}[/tex3]
[tex3]ln(u) =-\frac{t}{12} + K[/tex3]
[tex3]ln(-24 + v(t)) =-\frac{t}{12} + K[/tex3]
[tex3]v(t) = 24 + e^{-\frac{t}{12} + K}[/tex3]
[tex3]v(t) = 24 + e^{-\frac{t}{12}}.e^{K}[/tex3]

Aplicando as condições iniciais

[tex3]60 = 24 + e^{-\frac{t}{12}}.e^{K}[/tex3] , para t = 0, temos:
[tex3]36 = e^{K}[/tex3]

Assim:

[tex3]\boxed{v(t) = 24 + 36e^{-\frac{t}{12}}}[/tex3]

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Circuito RC

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