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Física III ⇒ Circuito simulado ITA Tópico resolvido
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AugustoITA 
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00:39
Circuito simulado ITA
No circuito a seguir temos as resistências [tex3]R_1,R_2,R_3,...,R_{2018}[/tex3]
e as fontes [tex3]E_1,E_2,E_3,...,E_{2018}[/tex3]
todas aterradas. Sabendo que [tex3]R_n=n [/tex3]
ohms e [tex3]E_n=n[/tex3]
Volts, determine qual o valor de R sabendo que o amperímetro ideal A indica uma corrente numericamente igual a 3R Ampères.
Última edição: caju (Qui 13 Jun, 2019 08:34). Total de 1 vez.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
"-Quem estará nas trincheiras ao teu lado?
-E isso importa?
-Mais do que a própria guerra"
Ernest Hemingway
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01:32
Re: Circuito simulado ITA
Chame de [tex3]U_i[/tex3]
o potencial do nó imediamente acima do pólo positivo da [tex3]i-[/tex3]
ésima bateria, e adotemos [tex3]U = 0[/tex3]
na terra.
Como [tex3]U_i - U = E_i \implies U_i - 0= E_i \iff U_i = E_i[/tex3]
essa análise seguinte não é tão importante para resolver o problema, mas te ajuda a entendê-lo:
vamos olhar pro lado esquerdo, ou seja [tex3]i[/tex3] ímpar da forma [tex3]2n-1[/tex3] com [tex3]n[/tex3] indo de [tex3]2[/tex3] até [tex3]1009[/tex3] .
Vamos encontrar a corrente no [tex3]i-[/tex3] ésimo resistor:
[tex3]U_{2n-1} - U_{2n-3} = R_{2n-1}I_{2n-1} \iff E_{2n-1}-E_{2n-3} = R_{2n-1}I_{2n-1}[/tex3]
[tex3]I_{2n-1} = \frac{E_{2n-1}-E_{2n-3}}{R_{2n-1}} = \frac{2}{2n-1}[/tex3] amperes sempre para a direita
Do lado direito é muito parecido, [tex3]i = 2n[/tex3] para [tex3]n[/tex3] indo de [tex3]2[/tex3] até [tex3]1009[/tex3]
[tex3]I_{2n} = \frac1n[/tex3] sempre para a esquerda
Agora o que importa efetivamente:
Seja [tex3]U_k[/tex3] o potencial do nó acima da resistência [tex3]R[/tex3] então
[tex3]U_k -U = R \cdot 3R = 3R^2 \iff U_k = 3R^2[/tex3] volts
A corrente passando pelo resistor [tex3]R_1[/tex3] vale numericamente:
[tex3]U_1 - U_k = R_1 I_1 \iff E_1 - 3R^2 = R_1I_1 \iff I_1 = \frac{1 - 3R^2}{1}[/tex3] amperes
Se [tex3]1 > 3R^2[/tex3] a corrente [tex3]I_1[/tex3] vai pra direita, do contrário ela vai para a esquerda
A corrente passando pelo resistor [tex3]R_2[/tex3] é:
[tex3]U_2 - U_k = R_2I_2 \iff I_2 = \frac{2-3R^2}2[/tex3]
Vou supor que [tex3]I_1[/tex3] vai para a direita e soma com [tex3]I_2[/tex3] ([tex3]I_2[/tex3] vai pra esquerda) resultando em [tex3]3R[/tex3]
[tex3]1-3R^2 + \frac{2-3R^2}2= 3R \iff 2 - 6R^2 = 6R + 3R^2 - 2 \iff 9R^2 + 6R - 4=0 \iff R = \frac{\sqrt5-1}3 \Omega[/tex3] é isso?
Como [tex3]U_i - U = E_i \implies U_i - 0= E_i \iff U_i = E_i[/tex3]
essa análise seguinte não é tão importante para resolver o problema, mas te ajuda a entendê-lo:
vamos olhar pro lado esquerdo, ou seja [tex3]i[/tex3] ímpar da forma [tex3]2n-1[/tex3] com [tex3]n[/tex3] indo de [tex3]2[/tex3] até [tex3]1009[/tex3] .
Vamos encontrar a corrente no [tex3]i-[/tex3] ésimo resistor:
[tex3]U_{2n-1} - U_{2n-3} = R_{2n-1}I_{2n-1} \iff E_{2n-1}-E_{2n-3} = R_{2n-1}I_{2n-1}[/tex3]
[tex3]I_{2n-1} = \frac{E_{2n-1}-E_{2n-3}}{R_{2n-1}} = \frac{2}{2n-1}[/tex3] amperes sempre para a direita
Do lado direito é muito parecido, [tex3]i = 2n[/tex3] para [tex3]n[/tex3] indo de [tex3]2[/tex3] até [tex3]1009[/tex3]
[tex3]I_{2n} = \frac1n[/tex3] sempre para a esquerda
Agora o que importa efetivamente:
Seja [tex3]U_k[/tex3] o potencial do nó acima da resistência [tex3]R[/tex3] então
[tex3]U_k -U = R \cdot 3R = 3R^2 \iff U_k = 3R^2[/tex3] volts
A corrente passando pelo resistor [tex3]R_1[/tex3] vale numericamente:
[tex3]U_1 - U_k = R_1 I_1 \iff E_1 - 3R^2 = R_1I_1 \iff I_1 = \frac{1 - 3R^2}{1}[/tex3] amperes
Se [tex3]1 > 3R^2[/tex3] a corrente [tex3]I_1[/tex3] vai pra direita, do contrário ela vai para a esquerda
A corrente passando pelo resistor [tex3]R_2[/tex3] é:
[tex3]U_2 - U_k = R_2I_2 \iff I_2 = \frac{2-3R^2}2[/tex3]
Vou supor que [tex3]I_1[/tex3] vai para a direita e soma com [tex3]I_2[/tex3] ([tex3]I_2[/tex3] vai pra esquerda) resultando em [tex3]3R[/tex3]
[tex3]1-3R^2 + \frac{2-3R^2}2= 3R \iff 2 - 6R^2 = 6R + 3R^2 - 2 \iff 9R^2 + 6R - 4=0 \iff R = \frac{\sqrt5-1}3 \Omega[/tex3] é isso?
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01:50
Re: Circuito simulado ITA
MUITO BOA A SUA RESPOSTA!!
PARABÉNS!
Somente uma pequena observação, no caso o valor 2n-1 varia de 1 até 2017, então na verdade n varia de 1 a 1009.
No caso em que i=2n, n vai de 1 a 1009.
EXCELENTE RESOLUÇÃO!
PARABÉNS!
Somente uma pequena observação, no caso o valor 2n-1 varia de 1 até 2017, então na verdade n varia de 1 a 1009.
No caso em que i=2n, n vai de 1 a 1009.
EXCELENTE RESOLUÇÃO!
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01:52
Re: Circuito simulado ITA
AugustoITA, na verdade os [tex3]n[/tex3]
começam do dois, porque a minha análise geral não se aplica aos resistores [tex3]R_1[/tex3]
e [tex3]R_2[/tex3]
já que entre eles não tem uma outra bateria. É bom tomar cuidado com esses detalhes, porque eles podem te confundir na hora de desenvolver o raciocínio. Abraço!
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