Olá
Bojack,
A explicação do
MateusQqMD já está ótima. Só vou demonstrar de onde vêm a fórmula. A origem da fórmula remonta à
Lei de Gauss. Vamos considerar uma superfície cilíndrica de comprimento [tex3]l[/tex3]
e raio [tex3]R[/tex3]
. Essa superfície está definida em torno da linha de carga. Pela Lei de Gauss, sabemos que:
[tex3]\oint E \cdot dA = \frac{\sum q}{\varepsilon_0}[/tex3]
Onde, [tex3]E[/tex3]
é o campo elétrico, [tex3]dA[/tex3]
é o módulo do vetor [tex3]dA[/tex3]
, [tex3]q[/tex3]
é a carga elétrica e [tex3]\varepsilon_0[/tex3]
é a permissividade elétrica do meio. Observando a imagem, podemos desenvolver a expressão para:
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[tex3]\underbrace{\int E \cdot dA_1}_{0} + \int E \cdot dA_2 \underbrace{\int E\cdot dA_3}_{0} = \frac{\sum q}{\varepsilon_0}[/tex3]
[tex3]\int E \cdot dA_2 = \frac{\sum q}{\varepsilon_0}[/tex3]
[tex3]|E|[/tex3]
é constante, podemos tirá-lo do integral:
[tex3]E \int dA_2 = \frac{\sum q}{\varepsilon_0}[/tex3]
[tex3]dA_2[/tex3]
é a área lateral do cilindro, dada por [tex3]2 \cdot \pi \cdot R \cdot l[/tex3]
, ou seja:
[tex3]E \cdot 2 \cdot \pi \cdot R \cdot l = \frac{\sum q}{\varepsilon_0}[/tex3]
Vamos definir [tex3]\rho[/tex3]
como sendo a densidade linear de cargas. Essa grandeza pode ser dada como:
[tex3]\rho = \frac{\sum q}{l} \iff \sum q = \rho \cdot l[/tex3]
Portanto:
[tex3]E \cdot 2 \cdot \pi \cdot R \cdot l = \frac{\rho \cdot l}{\varepsilon_0}[/tex3]
Podemos isolar [tex3]\rho[/tex3]
e obter:
[tex3]\rho = \frac{E \cdot 2 \cdot \pi \cdot R \cdot {\color{red}\cancel{{\color{black}l}}} \cdot \varepsilon_0}{{\color{red}\cancel{{\color{black}l}}}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\rho = E \cdot 2 \cdot \pi \cdot R \cdot \varepsilon_0}[/tex3]
Após substituir os dados:
[tex3]\rho = 4,5 \cdot 10^{4} \cdot 2 \cdot 3,14 \cdot 2 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12}[/tex3]
[tex3]\rho \approx 5 \cdot 10^{-6} \; [C/m][/tex3]
Ou ainda:
[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{\rho = 5\mu \; [C/m]}}[/tex3]