Física III ⇒ Eletrostática Tópico resolvido

[almeida13]

Duas esferas condutoras iguais, de massa m e carga q, estão penduradas por um fio de seda de comprimento L, como na figura.Na posição inicial de equilíbrio, a distância entre as partículas vale X0. A seguir, descarregamos uma das esferas e nova “perfeição” de equilíbrio será X1, novamente, descarregamos uma das esferas e, no equilíbrio, a nova distância entre as esferas será X2. Após realizarmos N operações de descarga de uma das esferas, quanto valerá a distância Xn entre as partículas no equilíbrio, em função de L, K, q, m, g e N?
Considere o α pequeno, ou seja, sen α = tg α

xn.JPG (6.25 KiB) Exibido 1174 vezes

PS: Minha principal dúvida foi calcular a carga na enésima descarga.

Resposta

---

[tex3]Xn=\sqrt[3]{\frac{KLq^{2}}{2^{(2n-1)}mg}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Xn=\sqrt[3]{\frac{KLq^{2}}{2^{(2n-1)}mg}}[/tex3]

[LucasPinafi]

Minha interpretação foi a seguinte.
Depois que descarrega uma das esferas, a outra se aproxima, elas entram em contato e ocorre eletrização por contato. A informação que as esferas são iguais é exatamente para isso.. [tex3]Q_n = Q_{n-1}/2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Q_n = Q_{n-1}/2[/tex3]

Q1 => Q0/2
Q2 => Q1/2 = Q0/4
Q3 = Q2/2 = Q0/8
...
[tex3]Q_n = \frac{q}{2^n{}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Q_n = \frac{q}{2^n{}}[/tex3]

[tex3]T \cos \alpha = mg \\ T \sen \alpha = \frac{kq_n^2}{(2L \sen \alpha)^2} \\ \frac{T\sen \alpha}{T\cos \alpha} = \frac{kq^2_n}{4L^2mg \sen^2 \alpha } \\ \tg \alpha = \frac{kq_0^2}{4L^2 2^{2n}mg \sen^2 \alpha}\\ \tg^3 \alpha = \frac{kq_0^2}{4L^2 2^{2n} mg}\\
\tg \alpha = \sqrt[3]{\frac{kq_0^2}{4L^2 2^{2n} mg}} \\ X_n = 2L \tan \alpha = \sqrt[3] {\frac{2L kq_0^2}{L^2 2^{2n} mg}} = \sqrt[3]
{\frac{Lkq_0^2}{ 2^{2n-1} mg}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T \cos \alpha = mg \\ T \sen \alpha = \frac{kq_n^2}{(2L \sen \alpha)^2} \\ \frac{T\sen \alpha}{T\cos \alpha} = \frac{kq^2_n}{4L^2mg \sen^2 \alpha } \\ \tg \alpha = \frac{kq_0^2}{4L^2 2^{2n}mg \sen^2 \alpha}\\ \tg^3 \alpha = \frac{kq_0^2}{4L^2 2^{2n} mg}\\
\tg \alpha = \sqrt[3]{\frac{kq_0^2}{4L^2 2^{2n} mg}} \\ X_n = 2L \tan \alpha = \sqrt[3] {\frac{2L kq_0^2}{L^2 2^{2n} mg}} = \sqrt[3]
{\frac{Lkq_0^2}{ 2^{2n-1} mg}}[/tex3]

é, bateu com o gabarito =D

[Andre13000]

Ora, a carga da cada uma é q no começo. Depois q/2. Depois q/4. Temos:

[tex3]q=\frac{q_0}{2^n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]q=\frac{q_0}{2^n}[/tex3]

Temos que a retração entre as cargas é incialmente

[tex3]F=\frac{kq^2_0}{x_0^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F=\frac{kq^2_0}{x_0^2}[/tex3]

Depois é de

[tex3]F=\frac{kq^2}{x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F=\frac{kq^2}{x^2}[/tex3]

Observe que pode-se considerar a força da gravidade [tex3]mg\sen\theta\approx mg\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]mg\sen\theta\approx mg\theta[/tex3]

. Temos

[tex3]2\theta_nL=x_n\to \theta=\frac{x_n}{2L}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\theta_nL=x_n\to \theta=\frac{x_n}{2L}[/tex3]

Para entender expressão acima, considere um pequeno arco de raio L e ângulo teta. Seu comprimento é dado pelo produto dessas grandezas.

Portanto

[tex3]mg\sen \theta_n=\frac{mg x_n}{2L}=\frac{kq^2}{x_n^2}\\
x_n^3=\frac{kLq^2_0}{2^{2n-1}mg}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]mg\sen \theta_n=\frac{mg x_n}{2L}=\frac{kq^2}{x_n^2}\\
x_n^3=\frac{kLq^2_0}{2^{2n-1}mg}[/tex3]

A resposta segue de imediato.