Física III ⇒ Eletrostática Tópico resolvido

[almeida13]

Quatro cargas positivas, q, Q, q, Q estão ligados por quatros fios cada um com comprimento L. Sabe-se que Q = 8q. Determine o ângulo θ. Despreze a gravidade.

Observação: K - constante eletrostática.

A) θ = 30°
B) θ = 2 arc tg (4)
C) θ = 4 arc tg (2)
D) θ = 4 arc tg (1/3)
E) N.R.A

Resposta

---

Letra e

[LucasPinafi]

ta faltando a imagem não ? =D

[almeida13]

ta faltando a imagem não ? =D

Vlw, segue em anexo.

fisica.JPG (4.13 KiB) Exibido 2848 vezes

[LucasPinafi]

Veja a figura a seguir:

Sem título.png (26.93 KiB) Exibido 2793 vezes

Da figura, temos [tex3]2\alpha + 2\theta = 2\pi \therefore \alpha + \theta = \pi \Longrightarrow \alpha = \pi - \theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\alpha + 2\theta = 2\pi \therefore \alpha + \theta = \pi \Longrightarrow \alpha = \pi - \theta [/tex3]

Distância entre Q e Q:
[tex3]x^2 = L^2 + L^2- 2L^2 \cos \alpha = 2L^2 - 2L^2 \cos(\pi -\theta ) = 2L^2 ( 1+ \cos \theta ) = 2L^2 ( 1 +2 \cos^2 \frac \theta 2 -1) = 4 L^2 \cos^2 \frac \theta 2 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2 = L^2 + L^2- 2L^2 \cos \alpha = 2L^2 - 2L^2 \cos(\pi -\theta ) = 2L^2 ( 1+ \cos \theta ) = 2L^2 ( 1 +2 \cos^2 \frac \theta 2 -1) = 4 L^2 \cos^2 \frac \theta 2 [/tex3]

Distância entre q e q:
[tex3]y^2 = L^2 + L^2 - 2L^2 \cos \theta = 2L^2 (1 - \cos \theta ) = 2L^2 ( 1- 1 + 2 \sen^2 \frac \theta 2 ) = 4L^2 \sen^2 \frac \theta 2 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y^2 = L^2 + L^2 - 2L^2 \cos \theta = 2L^2 (1 - \cos \theta ) = 2L^2 ( 1- 1 + 2 \sen^2 \frac \theta 2 ) = 4L^2 \sen^2 \frac \theta 2 [/tex3]

Equilíbrio de Q:
[tex3]2 \frac{kqQ}{L^2} \cos \frac \theta 2 + \frac{kQ^2}{4L^2 \cos^2 (\theta /2)} = 2T \cos \frac \theta 2 \therefore 2T = \frac{2kqQ}{L^2} + \frac{kQ^2}{4L^2 \cos^3 (\theta /2) }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2 \frac{kqQ}{L^2} \cos \frac \theta 2 + \frac{kQ^2}{4L^2 \cos^2 (\theta /2)} = 2T \cos \frac \theta 2 \therefore 2T = \frac{2kqQ}{L^2} + \frac{kQ^2}{4L^2 \cos^3 (\theta /2) }[/tex3]

(i)
Equilíbrio de q:
[tex3]2 \frac{kqQ}{L^2} \cos \frac{\alpha}{2} + \frac{kq^2}{4L^2 \sen^2 (\theta /2) } =2T \cos \frac{\alpha }{2} \\ 2T = \frac{2kQq}{L^2} + \frac{kq^2}{4L^2 \sen^2 ( \theta /2) \cos( \alpha /2) }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2 \frac{kqQ}{L^2} \cos \frac{\alpha}{2} + \frac{kq^2}{4L^2 \sen^2 (\theta /2) } =2T \cos \frac{\alpha }{2} \\ 2T = \frac{2kQq}{L^2} + \frac{kq^2}{4L^2 \sen^2 ( \theta /2) \cos( \alpha /2) }[/tex3]

Como [tex3]\alpha = \pi - \theta \therefore \frac \alpha 2 = \frac \pi 2 - \frac \theta 2 \Longrightarrow \sen \frac \alpha 2 = \sen \left( \frac \pi 2 - \frac \theta 2 \right) = \cos \frac \theta 2 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha = \pi - \theta \therefore \frac \alpha 2 = \frac \pi 2 - \frac \theta 2 \Longrightarrow \sen \frac \alpha 2 = \sen \left( \frac \pi 2 - \frac \theta 2 \right) = \cos \frac \theta 2 [/tex3]

Portanto, a última expressão fica [tex3]2T= \frac{2kqQ} {L^2}+ \frac{kq^2}{4L^2 \sen^3 ( \theta/2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2T= \frac{2kqQ} {L^2}+ \frac{kq^2}{4L^2 \sen^3 ( \theta/2)}[/tex3]

(ii)
Igualando (i) e (ii), e simplificando
[tex3]\frac{Q^2}{\cos^3 (\theta /2)} = \frac{q^2}{\sen^3 ( \theta /2)} \Longrightarrow \tg^3 (\theta /2) = \left( \frac q Q \right)^2 = \frac 1 {64} \Longrightarrow \tg (\theta/2) = \frac 1 4 \Longrightarrow \theta = 2 \arctg\left( \frac 1 4 \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{Q^2}{\cos^3 (\theta /2)} = \frac{q^2}{\sen^3 ( \theta /2)} \Longrightarrow \tg^3 (\theta /2) = \left( \frac q Q \right)^2 = \frac 1 {64} \Longrightarrow \tg (\theta/2) = \frac 1 4 \Longrightarrow \theta = 2 \arctg\left( \frac 1 4 \right)[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{\boxed{\theta = 2 \arctg\left( \frac 1 4 \right)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{\theta = 2 \arctg\left( \frac 1 4 \right)}}[/tex3]