Física III ⇒ Campo Elétrico em hastes curvas (integral) Tópico resolvido

[IgorAM]

Na imagem duas hastes plásticas curvas, uma com carga +q e a outra com carga -q, formam um círculo de raio R em um plano xy. O eixo x passa pelos seus pontos de contato, e a carga está distribuída uniformemente nas duas hastes. Quais a intensidade, a direção e o sentido do campo elétrico E produzido em P, o centro do círculo?

IMAGEM: a imagem do livro mostra uma circunferência no plano xy, a semicircunferência que esta nos quadrantes I e II está carregada com carga +q, e q semicircunferência que está nos quadrantes III e IV está carregada com carga -q, o ponto P está na origem do sistema.

Gabarito: [tex3]E=-\frac{q}{\varepsilon_0 \pi^2R^2}\hat{j}[/tex3]

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[tex3]E=-\frac{q}{\varepsilon_0 \pi^2R^2}\hat{j}[/tex3]

[undefinied3]

Considere uma das semicircunferências, em particular, a de carga positiva. Se você pegar pontos simétricos dela, em relação a um eixo que corta a semicircunferência no meio (ou seja, em dois quartos de circunferência), a soma vetorial das forças exercidas por cada um desses pontos será um vetor apontando para baixo (já que essa semicircunferência está no I e II quadrantes). Assim, a resultante está unicamente no eixo y, de modo que podemos escrever:
[tex3]dE=2.\frac{kdQ}{R^2}cos(\theta)[/tex3]

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[tex3]dE=2.\frac{kdQ}{R^2}cos(\theta)[/tex3]

Definindo uma densidade de carga [tex3]\lambda = \frac{Q}{\pi R}[/tex3]

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[tex3]\lambda = \frac{Q}{\pi R}[/tex3]

, pois é apenas meia circunferência, podemos expressar [tex3]dQ[/tex3]

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[tex3]dQ[/tex3]

em termos de [tex3]d\theta[/tex3]

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[tex3]d\theta[/tex3]

:
[tex3]dQ=\lambda.dl=\lambda.R.d\theta[/tex3]

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[tex3]dQ=\lambda.dl=\lambda.R.d\theta[/tex3]

Aqui usamos a definição de radiano, [tex3]\theta = \frac{l}{r}[/tex3]

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[tex3]\theta = \frac{l}{r}[/tex3]

Assim:
[tex3]dE=2.\frac{k.\lambda.R.d\theta}{R^2}cos(\theta)=\frac{2k\lambda}{R}.cos(\theta)d\theta[/tex3]

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[tex3]dE=2.\frac{k.\lambda.R.d\theta}{R^2}cos(\theta)=\frac{2k\lambda}{R}.cos(\theta)d\theta[/tex3]

O campo gerado pela parte positiva será dada pela integral nos intervalos de 0 até [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

[tex3]E=\frac{2k\lambda}{R}.\int_0^\frac{\pi}{2}cos(\theta)d\theta=\frac{2k\lambda}{R}.1[/tex3]

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[tex3]E=\frac{2k\lambda}{R}.\int_0^\frac{\pi}{2}cos(\theta)d\theta=\frac{2k\lambda}{R}.1[/tex3]

O campo gerado pela parte de carga negativa é idêntico ao da carga positiva, só que contribui com este. Portanto:
[tex3]E_T=\frac{4k\lambda}{R}=\frac{4kQ}{\pi R^ 2}=\frac{4Q}{4\pi \epsilon \pi R^2}=\frac{Q}{\epsilon \pi^2R^2}[/tex3]

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[tex3]E_T=\frac{4k\lambda}{R}=\frac{4kQ}{\pi R^ 2}=\frac{4Q}{4\pi \epsilon \pi R^2}=\frac{Q}{\epsilon \pi^2R^2}[/tex3]

A direção é no eixo y, sentido para baixo, assim, na notação vetorial:
[tex3]E_T=-\frac{Q}{\epsilon \pi^2R^2} \hat{j}[/tex3]

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[tex3]E_T=-\frac{Q}{\epsilon \pi^2R^2} \hat{j}[/tex3]

[IgorAM]

Muito obrigado, me ajudou mt