Física III ⇒ Força Magnética Tópico resolvido

[johnatta]

Um fio condutor, curvado na forma de um semicírculo de raio R, forma um circuito fechado e é percorrido por uma corrente I. O circuito está no plano xy e um campo magnético uniforme B está aplicado paralelamente ao eixo y, com é visto na figura.

a) Determine a força magnética total (vetor) sobre as parte retilínea do condutor.
b) Determine as força magnética total (vetor) sobre as parte curva do condutor
c) Determine o vetor torque exercido por B sobre o circuito.

Gbaritos: a) R: F=2IBRk b) R: F=-2IBRk c) T=(-I/2)PIR^2Bi

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[fismatpina]

Essa questão exige além dos conhecimentos de eletromagnetismo, saber trabalhar com produto vetorial (assim como a maioria das questões mais aprofundadas de eletromagnetismos). Caso tenha dúvida quanto ao sentido do vetor resultante, aplica a regra da mão direita.

IMG_7525.JPG (62.6 KiB) Exibido 2532 vezes

[jedi]

Podemos calcular também pela integral

a)

[tex3]\vec{F}=\int I.d\vec{L}\times\vec{B}[/tex3]

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[tex3]\vec{F}=\int I.d\vec{L}\times\vec{B}[/tex3]

[tex3]\vec{L}=x.\hat{i}[/tex3]

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[tex3]\vec{L}=x.\hat{i}[/tex3]

[tex3]d\vec{L}=dx.\hat{i}[/tex3]

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[tex3]d\vec{L}=dx.\hat{i}[/tex3]

[tex3]\vec{F}=\int_{-R}^{R}I.(\hat{i}\times B\hat{j})dx[/tex3]

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[tex3]\vec{F}=\int_{-R}^{R}I.(\hat{i}\times B\hat{j})dx[/tex3]

[tex3]\vec{F}=IB\hat{k}\int_{-R}^{R}dx[/tex3]

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[tex3]\vec{F}=IB\hat{k}\int_{-R}^{R}dx[/tex3]

[tex3]\vec{F}=2IBR.\hat{k}[/tex3]

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[tex3]\vec{F}=2IBR.\hat{k}[/tex3]

b)

[tex3]\vec{L}=R.\cos\theta.\hat{i}+R.\sen\theta.\hat{j}[/tex3]

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[tex3]\vec{L}=R.\cos\theta.\hat{i}+R.\sen\theta.\hat{j}[/tex3]

[tex3]d\vec{L}=(-R.\sen\theta.\hat{i}+R.\cos\theta.\hat{j})d\theta[/tex3]

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[tex3]d\vec{L}=(-R.\sen\theta.\hat{i}+R.\cos\theta.\hat{j})d\theta[/tex3]

[tex3]\vec{F}=\int_{o}^{\pi}I.d\vec{L}\times\vec{B}[/tex3]

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[tex3]\vec{F}=\int_{o}^{\pi}I.d\vec{L}\times\vec{B}[/tex3]

[tex3]\vec{F}=\int_{o}^{\pi}I(-R.\sen\theta.\hat{i}+R.\cos\theta.\hat{j})\times B.\hat{j}.d\theta[/tex3]

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[tex3]\vec{F}=\int_{o}^{\pi}I(-R.\sen\theta.\hat{i}+R.\cos\theta.\hat{j})\times B.\hat{j}.d\theta[/tex3]

[tex3]\vec{F}=\int_{o}^{\pi}I(-BR.\sen\theta.\hat{k}).d\theta[/tex3]

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[tex3]\vec{F}=\int_{o}^{\pi}I(-BR.\sen\theta.\hat{k}).d\theta[/tex3]

[tex3]\vec{F}=-IBR.\hat{k}\int_{o}^{\pi}\sen\theta.d\theta[/tex3]

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[tex3]\vec{F}=-IBR.\hat{k}\int_{o}^{\pi}\sen\theta.d\theta[/tex3]

[tex3]\vec{F}=-2IBR.\hat{k}[/tex3]

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[tex3]\vec{F}=-2IBR.\hat{k}[/tex3]

c)

[tex3]\vec{\tau}=\vec{F}\times\vec{r}[/tex3]

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[tex3]\vec{\tau}=\vec{F}\times\vec{r}[/tex3]

[tex3]\vec{\tau}=\int I.(d\vec{L}\times\vec{B})\times \vec{r}[/tex3]

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[tex3]\vec{\tau}=\int I.(d\vec{L}\times\vec{B})\times \vec{r}[/tex3]

onde r é o vetor posição da força

no caso do trecho retilineo

[tex3]\vec{r}=x.\hat{i}[/tex3]

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[tex3]\vec{r}=x.\hat{i}[/tex3]

e do trecho curvilineo

[tex3]\vec{r}=R.\cos\theta.\hat{i}+R.\sen\theta.\hat{j}[/tex3]

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[tex3]\vec{r}=R.\cos\theta.\hat{i}+R.\sen\theta.\hat{j}[/tex3]

[tex3]\vec{\tau}=\int_{o}^{\pi}I(-R.\sen\theta.\hat{i}+R.\cos\theta.\hat{j})\times B.\hat{j}.\times.(R\cos\theta.\hat{i}+R\sen\theta.\hat{j})d\theta+\int_{-R}^{R}I.(\hat{i}\times B\hat{j})\times x\hat{i}.dx[/tex3]

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[tex3]\vec{\tau}=\int_{o}^{\pi}I(-R.\sen\theta.\hat{i}+R.\cos\theta.\hat{j})\times B.\hat{j}.\times.(R\cos\theta.\hat{i}+R\sen\theta.\hat{j})d\theta+\int_{-R}^{R}I.(\hat{i}\times B\hat{j})\times x\hat{i}.dx[/tex3]

[tex3]\vec{\tau}=IBR^2\int_{o}^{\pi}(-\sen\theta.\hat{k})\times(\cos\theta.\hat{i}+\sen\theta.\hat{j})d\theta+IB\int_{-R}^{R}\hat{k}\times x\hat{i}.dx[/tex3]

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[tex3]\vec{\tau}=IBR^2\int_{o}^{\pi}(-\sen\theta.\hat{k})\times(\cos\theta.\hat{i}+\sen\theta.\hat{j})d\theta+IB\int_{-R}^{R}\hat{k}\times x\hat{i}.dx[/tex3]

[tex3]\vec{\tau}=IBR^2\int_{o}^{\pi}-\sen\theta.cos\theta\hat{j}+\sen^2\theta.\hat{i}.d\theta+IB\int_{-R}^{R} x\hat{j}.dx[/tex3]

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[tex3]\vec{\tau}=IBR^2\int_{o}^{\pi}-\sen\theta.cos\theta\hat{j}+\sen^2\theta.\hat{i}.d\theta+IB\int_{-R}^{R} x\hat{j}.dx[/tex3]

[tex3]\vec{\tau}=IBR^2.\int_{o}^{\pi}-\frac{\sen(2\theta)}{2}\hat{j}+\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.\hat{i}d\theta+IB.\hat{j}.\int_{-R}^{R} x.dx[/tex3]

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[tex3]\vec{\tau}=IBR^2.\int_{o}^{\pi}-\frac{\sen(2\theta)}{2}\hat{j}+\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.\hat{i}d\theta+IB.\hat{j}.\int_{-R}^{R} x.dx[/tex3]

[tex3]\vec{\tau}=IBR^2.\frac{\pi}{2}.\hat{i}+\frac{R^2}{2}-\frac{(-R)^2}{2}[/tex3]

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[tex3]\vec{\tau}=IBR^2.\frac{\pi}{2}.\hat{i}+\frac{R^2}{2}-\frac{(-R)^2}{2}[/tex3]

[tex3]\vec{\tau}=IBR^2\frac{\pi}{2}.\hat{i}[/tex3]

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[tex3]\vec{\tau}=IBR^2\frac{\pi}{2}.\hat{i}[/tex3]