A velocidade será máxima quando a distância entre A e B for a maior possível, o que ocorre na configuração abaixo
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Note que ACD é equilátero. Sendo assim, a distância máxima entre A e B é [tex3]2d \cos 30° = \sqrt 3 d[/tex3]
Agora, é só conservar a energia do sistema;
Note inicialmente que há exatamente [tex3]C_{4, 2} = \frac{4!}{2!2!} = 6[/tex3]
interações diferentes.
1) No início, [tex3]U_i = 6\frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0d} [/tex3]
2) No fim, [tex3]U_f =5 \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 d} + \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 \sqrt 3 d} + \frac 1 2 (4m )v^2[/tex3]
O último termo da expressão acima ocorre, pois, pela simetria, as 4 partículas devem possuir mesma velocidade.
Como o sistema é conservativo,
[tex3]U_i = U_f \Longrightarrow 6 \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 d} = 5 \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 d} + \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 \sqrt 3 d} + 2 mv^2 \\ \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 d} \left( 1 - \frac 1 {\sqrt 3} \right) = 2mv^2 \\ v= \sqrt{\frac{q^2}{8\pi \varepsilon_0md} \left( 1 - \frac {\sqrt 3} 3\right)}[/tex3]