Física III ⇒ (Apostila PENSI) Lei de Gauss

[Gu178]

Uma esfera maciça isolante de raio R, eletrizada positivamente com densidade volumétrica de cargas [tex3]+\rho[/tex3]

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[tex3]+\rho[/tex3]

, tem em seu interior uma cavidade vazia de diâmetro R. Uma carga puntiforme +q foi posicionada no interior da cavidade a uma distância d<R/4 do centro da esfera, num meio
de permissividade elétrica [tex3]\epsilon[/tex3]

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[tex3]\epsilon[/tex3]

. A intensidade da força elétrica que atuará na carga puntiforme +q será:

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Resposta

---

[tex3]\frac{\rho gR}{6\epsilon }[/tex3]

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[tex3]\frac{\rho gR}{6\epsilon }[/tex3]

[LucasPinafi]

Ai, mano, conseguiu fazer essa já? Se não eu tento resolver depois, se sim posta sua solução ai..

[Gu178]

Fiz sim Lucas, acho que é isso abaixo:

Não sei como fazer o desenho, mas peguei um ponto qualquer da esfera e liguei o vetor do centro da esfera a esse ponto, chamei esse vetor de (ra):

[tex3]\Phi =E*A \\E*4\pi R^2=\frac{\rho *V}{\varepsilon _{o}} \\E*4\pi R^2=\rho *\frac{4\pi R^3}{3\varepsilon _{o}}\\E=\frac{\rho }{3\varepsilon _{o}}\\\vec{E_{1}}=\frac{\rho }{3\varepsilon _{o}}*(\vec{r_{A}})[/tex3]

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[tex3]\Phi =E*A \\E*4\pi R^2=\frac{\rho *V}{\varepsilon _{o}} \\E*4\pi R^2=\rho *\frac{4\pi R^3}{3\varepsilon _{o}}\\E=\frac{\rho }{3\varepsilon _{o}}\\\vec{E_{1}}=\frac{\rho }{3\varepsilon _{o}}*(\vec{r_{A}})[/tex3]

Fazendo o mesmo para a cavidade, pegando um ponto interno a ela e indo do centro a esse ponto, encontra-se a mesma relação acima, mas esse vetor eu chamei de (rb):

[tex3]\vec{E_{2}}=\frac{\rho }{3\varepsilon _{o}}*(\vec{r_{B}})[/tex3]

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[tex3]\vec{E_{2}}=\frac{\rho }{3\varepsilon _{o}}*(\vec{r_{B}})[/tex3]

Pelo princípio da superposição temos:

[tex3]\vec{E}=\vec{E}_{1}-\vec{E}_{2}[/tex3]

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[tex3]\vec{E}=\vec{E}_{1}-\vec{E}_{2}[/tex3]

Fazendo isso temos:

[tex3]\vec{E}=\frac{\rho }{3\varepsilon _{o}}*(\vec{r_{A}}-\vec{r_{B}})[/tex3]

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[tex3]\vec{E}=\frac{\rho }{3\varepsilon _{o}}*(\vec{r_{A}}-\vec{r_{B}})[/tex3]

E com isso percebe-se que o vetor resultante vai do centro da esfera maior até o centro da cavidade. Essa distância é R/2.

[tex3]E=\frac{\rho*q }{3\varepsilon _{o}}*\frac{R}{2}\\E=\frac{\rho*q*R }{6\varepsilon _{o}}[/tex3]

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[tex3]E=\frac{\rho*q }{3\varepsilon _{o}}*\frac{R}{2}\\E=\frac{\rho*q*R }{6\varepsilon _{o}}[/tex3]

[LostWalker]

Finalmente uma resolução sobre o que fazer nesse cenário, sabia que estava errando em algo bem bobo; Uma adição também à resposta é que esse [tex3]q[/tex3]

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[tex3]q[/tex3]

:

[tex3]E=\frac{\rho*{\color{Red}q} }{3\varepsilon _{o}}*\frac{R}{2}\\E=\frac{\rho*{\color{Red}q}*R }{6\varepsilon _{o}}[/tex3]

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[tex3]E=\frac{\rho*{\color{Red}q} }{3\varepsilon _{o}}*\frac{R}{2}\\E=\frac{\rho*{\color{Red}q}*R }{6\varepsilon _{o}}[/tex3]

Corresponde a equação da Força elétrica, tanto que o pedido no enunciado, logo, nesse final, o correto seria dizer:

[tex3]F_e=\frac{\rho*q }{3\varepsilon _{o}}*\frac{R}{2}\\F_e=\frac{\rho*q*R }{6\varepsilon _{o}}[/tex3]

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[tex3]F_e=\frac{\rho*q }{3\varepsilon _{o}}*\frac{R}{2}\\F_e=\frac{\rho*q*R }{6\varepsilon _{o}}[/tex3]