Física III ⇒ Campo elétrico constante em condutor
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Mai 2017
06
01:03
Campo elétrico constante em condutor
Um condutor esférico apresenta vetor campo elétrico [tex3]\vec{E}[/tex3]
constante em seu interior (módulo, direção e sentido). Determinar a distribuição de carga em sua superfície.
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sáb 06 Mai, 2017 01:03). Total de 1 vez.
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Andre13000 
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Mai 2017
06
14:00
Re: Campo elétrico constante em condutor
[tex3]\epsilon_0\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=q_{env}\\
\vec E=E_x\hat i+E_y\hat j+E_z\hat k\\
x^2+y^2+z^2=R^2\\
d\vec{A}=\frac{x}{R}dA\hat i+\frac{y}{R}dA\hat j+\frac{z}{R}dA\hat k\\
\epsilon_0\oint \frac{xE_x+yE_y+zE_z}{R}dA=q_{env}\\
q_{env}=\oint \sigma ~dA\\
\frac{\epsilon_0}{R}\oint \left(xE_x+yE_y+zE_z\right)~dA=\oint \sigma ~dA[/tex3]
Eu não sei se isso que vou fazer é um absurdo, pois não sei mexer direito com integrais duplas para cima, mas:
[tex3]\frac{\epsilon_0}{R}\left(xE_x+yE_y+zE_z\right)=\sigma[/tex3]
Acho que provavelmente eu cometi um erro em algum canto aí pois não estudei esse tipo de integral ainda, mas a resposta parece fazer sentido. Você tem gabarito?
\vec E=E_x\hat i+E_y\hat j+E_z\hat k\\
x^2+y^2+z^2=R^2\\
d\vec{A}=\frac{x}{R}dA\hat i+\frac{y}{R}dA\hat j+\frac{z}{R}dA\hat k\\
\epsilon_0\oint \frac{xE_x+yE_y+zE_z}{R}dA=q_{env}\\
q_{env}=\oint \sigma ~dA\\
\frac{\epsilon_0}{R}\oint \left(xE_x+yE_y+zE_z\right)~dA=\oint \sigma ~dA[/tex3]
Eu não sei se isso que vou fazer é um absurdo, pois não sei mexer direito com integrais duplas para cima, mas:
[tex3]\frac{\epsilon_0}{R}\left(xE_x+yE_y+zE_z\right)=\sigma[/tex3]
Acho que provavelmente eu cometi um erro em algum canto aí pois não estudei esse tipo de integral ainda, mas a resposta parece fazer sentido. Você tem gabarito?
Última edição: Andre13000 (Sáb 06 Mai, 2017 14:00). Total de 1 vez.
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Mai 2017
06
15:08
Re: Campo elétrico constante em condutor
O gabarito é
[tex3]\sigma = k*E\cos(\theta)[/tex3] onde [tex3]k[/tex3] é uma constante que depende de [tex3]\epsilon_0[/tex3]
Onde [tex3]E[/tex3] é o módulo do campo e [tex3]\theta[/tex3] é o ângulo entre o vetor posição do ponto da superfície esférica com o eixo que passa pelo centro da esfera e tem a direção do campo elétrico.
Você pode obter apenas a carga pela forma integral da lei de gauss, seria melhor usar a forma diferencial da lei de gauss na superfície, ou usar a forma integral próxima a superfície e tomar o limite. Não necessariamente o que está dentro das integrais é igual também.
Como os planos perpendiculares a direção do campo elétrico são equipotenciais e, como há simetria axial ao longo do eixo que passa pelo centro da esfera e tem a direção do campo, então as densidades de carga são constantes em anéis nas intersecções dos planos perpendiculares ao campo com a superfície esférica. Tentei fazer a integral nessa região, mas só consigo equações com integrais também e não consigo dizer muito sobre o que está lá dentro.
A equação é essa:
[tex3]\frac{2\epsilon_0E}{R^2} = \int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sigma(\theta)\sin\theta d\theta}{R^2 + y^2 - 2Ry\cos(\theta)}[/tex3]
para todo [tex3]-R \leq y\leq R[/tex3]
derivando tudo em y
[tex3]0 =\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sigma(\theta)\sin(\theta)(y - R\cos(\theta))d\theta}{(R^2+y^2-2Ry\cos \theta)^2}[/tex3]
pra todo [tex3]y[/tex3]
[tex3]\sigma = k*E\cos(\theta)[/tex3] onde [tex3]k[/tex3] é uma constante que depende de [tex3]\epsilon_0[/tex3]
Onde [tex3]E[/tex3] é o módulo do campo e [tex3]\theta[/tex3] é o ângulo entre o vetor posição do ponto da superfície esférica com o eixo que passa pelo centro da esfera e tem a direção do campo elétrico.
Você pode obter apenas a carga pela forma integral da lei de gauss, seria melhor usar a forma diferencial da lei de gauss na superfície, ou usar a forma integral próxima a superfície e tomar o limite. Não necessariamente o que está dentro das integrais é igual também.
Como os planos perpendiculares a direção do campo elétrico são equipotenciais e, como há simetria axial ao longo do eixo que passa pelo centro da esfera e tem a direção do campo, então as densidades de carga são constantes em anéis nas intersecções dos planos perpendiculares ao campo com a superfície esférica. Tentei fazer a integral nessa região, mas só consigo equações com integrais também e não consigo dizer muito sobre o que está lá dentro.
A equação é essa:
[tex3]\frac{2\epsilon_0E}{R^2} = \int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sigma(\theta)\sin\theta d\theta}{R^2 + y^2 - 2Ry\cos(\theta)}[/tex3]
para todo [tex3]-R \leq y\leq R[/tex3]
derivando tudo em y
[tex3]0 =\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sigma(\theta)\sin(\theta)(y - R\cos(\theta))d\theta}{(R^2+y^2-2Ry\cos \theta)^2}[/tex3]
pra todo [tex3]y[/tex3]
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Fev 2018
04
13:20
Re: Campo elétrico constante em condutor
Colocando um eixo [tex3]z[/tex3]
na direção do campo e a origem de um sistema cilíndrico de coordenadas no centro da esfera, temos que a solução da equação de Laplace é:
[tex3]\Phi = \sum_{i=0}^{+\infty}[A_i r^i + B_i r^{-(i+1)}]P_i (\cos(\theta))[/tex3]
então a solução é:
[tex3]\Phi =\begin{cases}
V_0 -E r \cos(\theta) &\quad\text{se} \, \, 0 \leq r \leq a \\
A_0+A_1r\cos(\theta) + \frac {B_0}r +\frac{B_1 \cos (\theta)}{r^2} &\quad\text{se} \, \, r > a
\end{cases}[/tex3]
pois deve haver continuidade na superfície do condutor.
[tex3]-Ea = A_1 a + \frac{B_1}{a^2}[/tex3] e [tex3]V_0 = A_0 + \frac{B_0}a[/tex3]
como [tex3]\sigma = \epsilon_0(E_{ext} - E_{int}) \cdot \hat r = \epsilon_0 \frac{B_0}{a} - 3\epsilon_0(A_1+E) \cos(\theta)[/tex3]
se quisermos que o campo elétrico no infinito seja zero teremos [tex3]A_1=0[/tex3] e então
[tex3]\sigma = \epsilon_0 \frac{B_0}a - 3\epsilon_0 E \cos(\theta)[/tex3] para o potencial no infinito ser zero temos [tex3]A_0 = 0[/tex3]
vale notar que [tex3]\int \sigma dA = 4\pi \epsilon_0 B_0[/tex3] e então
[tex3]\sigma = \frac{Q}{4 \pi a^2} - 3\epsilon_0 E \cos(\theta)[/tex3] o que faz sentido já que o campo elétrico no interior de uma esfera condutora é sempre zero independente de sua carga total [tex3]Q[/tex3]
[tex3]\Phi = \sum_{i=0}^{+\infty}[A_i r^i + B_i r^{-(i+1)}]P_i (\cos(\theta))[/tex3]
então a solução é:
[tex3]\Phi =\begin{cases}
V_0 -E r \cos(\theta) &\quad\text{se} \, \, 0 \leq r \leq a \\
A_0+A_1r\cos(\theta) + \frac {B_0}r +\frac{B_1 \cos (\theta)}{r^2} &\quad\text{se} \, \, r > a
\end{cases}[/tex3]
pois deve haver continuidade na superfície do condutor.
[tex3]-Ea = A_1 a + \frac{B_1}{a^2}[/tex3] e [tex3]V_0 = A_0 + \frac{B_0}a[/tex3]
como [tex3]\sigma = \epsilon_0(E_{ext} - E_{int}) \cdot \hat r = \epsilon_0 \frac{B_0}{a} - 3\epsilon_0(A_1+E) \cos(\theta)[/tex3]
se quisermos que o campo elétrico no infinito seja zero teremos [tex3]A_1=0[/tex3] e então
[tex3]\sigma = \epsilon_0 \frac{B_0}a - 3\epsilon_0 E \cos(\theta)[/tex3] para o potencial no infinito ser zero temos [tex3]A_0 = 0[/tex3]
vale notar que [tex3]\int \sigma dA = 4\pi \epsilon_0 B_0[/tex3] e então
[tex3]\sigma = \frac{Q}{4 \pi a^2} - 3\epsilon_0 E \cos(\theta)[/tex3] o que faz sentido já que o campo elétrico no interior de uma esfera condutora é sempre zero independente de sua carga total [tex3]Q[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Dom 04 Fev, 2018 15:08). Total de 2 vezes.
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FelipeMartin
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Mar 2024
02
17:02
Re: Campo elétrico constante em condutor
Essa deve ser a forma do potencial, pois o oposto de seu gradiente deve ser o campo elétrico. Com termos a mais, seria impossível o campo ser constante no interior da casca.Auto Excluído (ID:12031) escreveu: ↑Dom 04 Fev, 2018 13:20
então a solução é:
[tex3]\Phi =\begin{cases}
V_0 -E r \cos(\theta) &\quad\text{se} \, \, 0 \leq r \leq a \\
A_0+A_1r\cos(\theta) + \frac {B_0}r +\frac{B_1 \cos (\theta)}{r^2} &\quad\text{se} \, \, r > a
\end{cases}[/tex3]
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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