Física III ⇒ (Farias Brito) Provar relação - Cargas Tópico resolvido

[Ardovino]

Os pontos A e B estão eletrizados com carga +Q cada um. Um terceiro ponto C, eletrizado com carga -Q0 pode deslizar livremente sob a guia retilínea e horizontal, perfeitamente lisa. Verifica-se que o ponto C fica em equilíbrio quando o segmento AC é normal a BC. Demonstre que entre a, b e c verifica-se a relação a^3 + b^3 = abc.

[Tassandro]

Ardovino,
Seja [tex3]A'[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A'[/tex3]

a projeção de A sobre a horizontal e [tex3]B'[/tex3]

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[tex3]B'[/tex3]

a de B.
Seja [tex3]θ=C\hat AA';x=A'C;y=B'C[/tex3]

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[tex3]θ=C\hat AA';x=A'C;y=B'C[/tex3]

Temos que
[tex3]\tgθ=\frac{x}{a}\implies x=a\tgθ\\
\tgθ=\frac{b}{y}\implies y=\frac{b}{\tgθ}\\
\cosθ=\frac{a}{AC}\implies AC=\frac{a}{\cosθ}\\
\senθ=\frac{b}{BC}\implies BC=\frac{b}{\senθ}[/tex3]

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[tex3]\tgθ=\frac{x}{a}\implies x=a\tgθ\\
\tgθ=\frac{b}{y}\implies y=\frac{b}{\tgθ}\\
\cosθ=\frac{a}{AC}\implies AC=\frac{a}{\cosθ}\\
\senθ=\frac{b}{BC}\implies BC=\frac{b}{\senθ}[/tex3]

Τemos que
[tex3]F_{ACx}=F_{BCx}\implies F_{AC}\senθ=F_{BC}\cosθ\implies\\
\frac{kQQ_0}{AC^2}\senθ=\frac{kQQ_0}{BC^2}\cosθ[/tex3]

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[tex3]F_{ACx}=F_{BCx}\implies F_{AC}\senθ=F_{BC}\cosθ\implies\\
\frac{kQQ_0}{AC^2}\senθ=\frac{kQQ_0}{BC^2}\cosθ[/tex3]

Após algumas simplificações algébricas, vem que:
[tex3]\tgθ=\frac{b^2}{a^2}[/tex3]

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[tex3]\tgθ=\frac{b^2}{a^2}[/tex3]

Mas
[tex3]c=x+y=a\tgθ+\frac{b}{\tgθ}=\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}\implies\\
\boxed{a^3+b^3=abc}[/tex3]

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[tex3]c=x+y=a\tgθ+\frac{b}{\tgθ}=\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}\implies\\
\boxed{a^3+b^3=abc}[/tex3]