Física III ⇒ Mínima energia potencial

[undefinied3]

Determine a menor energia potencial possível adquirida por uma carga +Q ao ser colocada dentro de um triângulo equilátero de lado [tex3]L=3\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]L=3\sqrt{3}[/tex3]

, sendo que em seus vértices estão fixas cargas idênticas +Q.

Eu sei que a resposta é intuitiva e o ponto de menor energia potencial seria no circuncentro do triângulo. Mas por que essa ideia funciona? E se as cargas não fossem idênticas? Como eu teria que prosseguir pra encontrar a resposta?

[3tom]

O que vc quer é minimizar [tex3]E(x,y)=-\frac{q_1Q}{x}-\frac{q_2Q}{y}[/tex3]

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[tex3]E(x,y)=-\frac{q_1Q}{x}-\frac{q_2Q}{y}[/tex3]

Com a restrição [tex3]g(x,y)=x+y\leq 2L[/tex3]

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[tex3]g(x,y)=x+y\leq 2L[/tex3]

e [tex3]x>0 \, , y>0[/tex3]

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[tex3]x>0 \, , y>0[/tex3]

Onde [tex3]x,y[/tex3]

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[tex3]x,y[/tex3]

representam a distância entre as cargas.
O sistema do problema é dado por:
[tex3]\begin{cases}
\nabla E(x,y)=\lambda\nabla g(x,y)\\
x+y\leq 2L \\
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
\nabla E(x,y)=\lambda\nabla g(x,y)\\
x+y\leq 2L \\
\end{cases}[/tex3]

Com [tex3]\lambda\in\Re[/tex3]

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[tex3]\lambda\in\Re[/tex3]

[undefinied3]

Coisas que você só encontra em apostila de preparação pro ITA... Isso é multiplicador de Lagrange, correto? Você poderia desenvolver as contas pra eu entender como funciona o processo? Alguns exemplos que procurei na internet só mostram a segunda equação como uma igualdade, mas como eu prossigo quando ela é uma desigualdade ([tex3]x+y \leq 2L[/tex3]

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[tex3]x+y \leq 2L[/tex3]

)?

[Auto Excluído (ID:12031)]

O ponto de menor potencial é o de maior estabilidade. Basta encontrar o único ponto dentro do triângulo em que a força elétrica resultante é zero. Do ponto de vista do cálculo isso significa zerar o gradiente da função potencial que é onde os extremos podem se encontrar.

[Andre13000]

Seja [tex3]V=f(x,y)[/tex3]

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[tex3]V=f(x,y)[/tex3]

Temos que:

[tex3]E_x=-\frac{\partial V}{\partial x}\\
E_y=-\frac{\partial V}{\partial y}[/tex3]

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[tex3]E_x=-\frac{\partial V}{\partial x}\\
E_y=-\frac{\partial V}{\partial y}[/tex3]

Portanto, o ponto de menor* potencial é onde o campo é zero.