Física III ⇒ Eletrostática

[jl1998]

A figura mostra, em corte, dois condutores esféricos muito afastados, interligados por um fio condutor fino. O condutor afastado da esquerda está no centro de uma cavidade esférica condutora ligada à terra. Antes da esfera da esquerda ser colocada na cavidade, o conjunto das esferas estava a um potencial Vº. Determine a carga na superfície interna da cavidade, em função de R, r, Vº e εº(permissividade do meio).

Resposta: -[8πεºVºR(R+r)]/[R+2r]

Obrigado

[123321123]

->Inicialmente temos que as esferas estão em equilíbrio. O que isso significa? Estão com o mesmo potencial elétrico, dado pelo texto como V₀
-> Com isso descobrimos a carga inicial em cada esfera -> V₀=[tex3]\frac{KQ}{R}[/tex3]

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[tex3]\frac{KQ}{R}[/tex3]

=> Q=[tex3]\frac{V_0R}{K}[/tex3]

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[tex3]\frac{V_0R}{K}[/tex3]

(i)
Vemos que a carga inicial das duas esferas são iguais, pois o potencial é o mesmo, logo Q_i= 2Q = [tex3]\frac{V_0R}{2K}[/tex3]

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[tex3]\frac{V_0R}{2K}[/tex3]

(ii)

-> Colocando agora uma das esferas dentro da cavidade, os potenciais irão mudar, e as cargas em cada esfera também. Vamos chamar a carga da esfera na cavidade de Q₁ e a que está fora de Q₂, onde Q_f = Q₁ + Q₂. Sabemos também que a esfera dentro da cavidade irar induzir uma carga -Q₁ na casca esférica interna. Vamos calcular o potencial na superfície da esfera que esta dentro da cavidade.

->Esse potencial será dado pelo potencial da superfície esférica, da casca esférica interna e da casca esférica externa -> V₁ = V_e + V_int + V_ext mas ora, a casca esférica externa esta aterrada, logo seu potencial é 0, a equação fica
V₁ = V_e + V_int => V₁ = [tex3]\frac{KQ_1}{R} + \frac{K(-Q_1)}{R+r}[/tex3]

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[tex3]\frac{KQ_1}{R} + \frac{K(-Q_1)}{R+r}[/tex3]

Resolvendo essa equação iremos achar V₁ = [tex3]\frac{KQ_1r}{R(R+r)}[/tex3]

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[tex3]\frac{KQ_1r}{R(R+r)}[/tex3]

(iii)

Precisamos de mais uma equação para podermos eliminar o V₁, essa iremos tirar da esfera que não esta dentro da cavidade. Sabemos que elas continuam ligada pelo fio, Logo seus potenciais continuam o mesmo, então V₁=V₂ => [tex3]\frac{KQ_1r}{R(R+r)} = \frac{KQ_2}{R}[/tex3]

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[tex3]\frac{KQ_1r}{R(R+r)} = \frac{KQ_2}{R}[/tex3]

(iv)

-> Conseguimos eliminar o V₁ mas aparecemos com uma nova variável que é o Q₂. Mas essa conseguimos eliminar com o principio da conservação de carga. Q_f = Q_i => Q₁ + Q₂ = 2Q (v)

Isolando Q₂ em (iv) => [tex3]\frac{KQ_1r}{R(R+r)} = \frac{KQ_2}{R}[/tex3]

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[tex3]\frac{KQ_1r}{R(R+r)} = \frac{KQ_2}{R}[/tex3]

=> Q₂ = [tex3]\frac{Q_1r}{R+r}[/tex3]

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[tex3]\frac{Q_1r}{R+r}[/tex3]

Achamos inicialmente em (ii) que 2Q = [tex3]\frac{V_0R}{2K}[/tex3]

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[tex3]\frac{V_0R}{2K}[/tex3]

Substituindo em (v) ficamos

Q₁ + [tex3]\frac{Q_1r}{R+r} = \frac{V_0R}{2K}[/tex3]

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[tex3]\frac{Q_1r}{R+r} = \frac{V_0R}{2K}[/tex3]

Basta isolar a equação agora que iremos achar

Q₁ = [tex3]\frac{8\pi V_0Rε_0(R+r)}{R+2r}[/tex3]

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[tex3]\frac{8\pi V_0Rε_0(R+r)}{R+2r}[/tex3]

Mas não se esqueça que a carga induzida na casca interna é carga -Q₁ logo temos que Q_int = [tex3]\frac{-8\pi V_0Rε_0(R+r)}{R+2r}[/tex3]

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[tex3]\frac{-8\pi V_0Rε_0(R+r)}{R+2r}[/tex3]

[Deleted User 23699]

Vemos que a carga inicial das duas esferas são iguais, pois o potencial é o mesmo, logo Qi= 2Q

Como Q = VoR/K
e 2Q não é 2VoR/K
????